Relações de Girard nas equações do 3º e do 4º grau

As fundamentações de Girard são responsáveis pela relação existente entre os coeficientes de uma equação algébrica e suas raízes. Na equação do 2º grau, as relações são obtidas por meio das fórmulas da soma e do produto: – b/a e c/a, respectivamente.

As equações do 3º grau possuem como lei de formação a equação algébrica: ax³ + bx² + cx + d = 0, com a ≠ 0 e raízes x₁, x₂ e x₃. A decomposição dessa equação permite a determinação de expressões matemáticas capazes de relacionar as raízes da equação. Observe:

ax³ + bx² + cx + d = a[x³ – (x₁+x₂+x₃)x² + (x₁*x₂ + x₁*x₃ + x₂*x₃) – x₁*x₂*x₃

Dividindo a equação por a, temos:

 

Realizando a igualdade entre os polinômios:

x₁ + x₂ + x₃ = – b/a

x₁ * x₂ + x₁ * x₃ + x₂ * x₃ = c/a

x₁ * x₂ * x₃ = – d/a


Os polinômios do 4º grau possuem a seguinte lei de formação: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. Nessa equação polinomial temos, no máximo, a existência de quatro possíveis raízes, as quais quando relacionadas, formam as seguintes expressões:


x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = – b/a

x₁ * x₂ + x₁ * x₃ + x₁ * x₄ + x₂ * x₃ + x₂ * x₄ + x₃ * x₄ = c/a

x₁ * x₂ * x₃ + x₁ * x₂ * x₄ + x₁ * x₃ * x₄ + x₂ * x₃ * x₄ = – d/a

x₁ * x₂ * x₃ * x₄ = e/a


Exemplo

Determine as relações de Girard para a equação algébrica: x³ + 7x² – 6x + 1 = 0, considerando x1, x2 e x3, as raízes da equação.

Na equação, temos que: a = 1, b = 7, c = – 6 e d = 1.

x₁ + x₂ + x₃ = – b/a = –7/1 = –7

x₁ * x₂ + x₁ * x₃ + x₂ * x₃ = c/a = –6/1 = – 6

x₁ * x₂ * x₃ = – d/a = –1/1 = –1