Calota esférica

A calota esférica é o sólido obtido pela secção de uma esfera por um plano secante, sem o centro da esfera. Pela sua superfície arredondada, esse sólido é classificado como um corpo redondo.

Leia também: Como calcular o volume de sólidos geométricos

Resumo sobre calota esférica

• Um plano secante a uma esfera divide-a em duas partes, que não contêm o centro da esfera, chamadas de calotas esféricas.

• O raio r a altura h de uma calota esférica estão relacionados com o raio R da esfera pela expressão:

\(r^2 + (R - h)^2 = R^2 \)

• A área de uma calota esférica é obtida pela fórmula:

\(A_{\text{calota}} = 2 \cdot \pi \cdot R \cdot h \)

• O volume de uma calota esférica é obtido pela fórmula:

\(V_{\text{calota}} = \frac{1}{3} \pi \cdot h^2 \cdot \left(3R - h\right) \)

O que é uma calota esférica?

Considere uma esfera que é seccionada por um plano de modo que o plano não contenha o centro da esfera. Esse processo divide a esfera em dois pedaços, e cada pedaço é uma calota esférica.

Observe a calota esférica menor. Note que a superfície desse sólido é arredondada e a base é um círculo (obtido pela interseção do plano com a esfera original).

Elementos da calota esférica

Uma calota esférica é formada por dois elementos principais.

• O raio \(r\) da calota esférica, que é a distância do centro da base da calota até a borda da base.
• A altura \(h\) da calota esférica, que é a distância da base até o polo da esfera.

O raio R da esfera que originou a calota está relacionado diretamente com os outros elementos, como veremos adiante.

Como se calcula o raio da calota esférica?

Considere uma calota esférica de raio \(r\) e altura \(h\) formada a partir de uma esfera de raio \(R\). Seja \(O\) o centro da esfera e \({ O ’ }\) o centro da base da calota esférica, conforme a figura abaixo; ainda, seja \(A\) o polo da esfera e \(B\) um ponto na borda da calota esférica.

Como R é o raio da esfera, então \(AO = R\). Como \(A{ O ’ } = h\), então \(O {O'} = R - h\).

Perceba que podemos formar o triângulo retângulo \(O{O'}B\), com catetos \({O'}B=r\) e \(O{O'}=R-h\) e hipotenusa \(OB=R\).

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo \(O{O'}B\), temos que:

\(\left( O'B \right)^2 + \left( OO' \right)^2 = ¿ \)

\(r^2 + (R - h)^2 = R^2 \)

Essa expressão é fundamental para associar o raio e a altura de uma calota esférica com o raio da esfera original.

Exemplo:

Qual o raio de uma calota esférica de altura 3 cm obtida a partir de uma esfera com 9 cm de raio?

Como \(R = 9\) e \(h = 3\), temos que:

\(r^2 + (9 - 3)^2 = 9^2 \)

\({ { r ^ 2 + 36 } = 81 }\)

\({ r ^ 2 = 45 }\)

\(r = 3\sqrt{5} \ cm \)

Veja também: Representação plana dos sólidos geométricos

Como se calcula a área da calota esférica?

Considere uma calota esférica de altura \(h\) formada a partir de uma esfera de raio \(R\). Assim, a área da calota esférica é dada por:

\(A_{\text{calota}} = 2 \cdot \pi \cdot R \cdot h \)

Exemplo:

Determine a área de uma calota esférica com 3 cm de altura, sabendo que o raio da esfera que a formou é igual a 9 cm.

Como \(R = 9\) e \(h=3\), temos que:

\(A_{\text{calota}} = 2 \cdot \pi \cdot 9 \cdot 3 \)

\(A_{\text{calota}} = 54 \ cm^2 \)

Como se calcula o volume da calota esférica?

Considere uma calota esférica de altura \(h\) formada a partir de uma esfera de raio \(R\). Assim, o volume da calota esférica é dado por:

\(V_{\text{calota}} = \frac{1}{3} \pi \cdot h^2 \cdot \left(3R - h\right) \)

Exemplo:

Calcule o volume de uma calota esférica com 2 cm de altura obtida a partir de uma esfera de raio 8 cm.

Como \(R = 8\) e \(h = 2\), temos que:

\(V_{\text{calota}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 2^2 \cdot \left(3 \cdot 8 - 2\right) \)

\(V_{\text{calota}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 2^2 \cdot 22 \)

\(V_{\text{calota}} = \frac{88}{3} \pi \ cm^3 \)

A calota esférica é um poliedro ou um corpo redondo?

A base da calota esférica é um círculo e sua superfície é arredondada. Assim, a calota esférica é classificada como um corpo redondo, assim como a esfera, o cone e o cilindro. Lembre-se de que poliedro é um sólido geométrico cujas faces são polígonos. Exemplos de poliedros são os prismas e as pirâmides.

Saiba mais: Qual a diferença entre figuras planas e figuras espaciais?

Calota esférica, fuso esférico e cunha esférica

Além da calota esférica, há outras repartições da esfera com nomes específicos. O fuso esférico é uma parte da superfície da esfera, obtido pela rotação de uma semicircunferência em torno do diâmetro da esfera em um ângulo inferior a 360°. (Observe que, para o ângulo de 360°, temos toda a superfície da esfera).

Já a cunha esférica é o sólido geométrico obtido pela rotação de um círculo em torno do diâmetro da esfera em um ângulo inferior a 360°. (Observe que, para o ângulo de 360°, temos toda a esfera). Note que a cunha é como o “gomo” de uma mexerica.

Exercícios resolvidos sobre calota esférica

Questão 1

(Fuvest) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio desta circunferência, em cm, é

A) 1.

B) 2.

C) 3.

D) 4.

E) 5.

Resolução: letra E

Note que, pelas informações do enunciado, \(R = 13\) cm e \(R - h = 12\) cm. Portanto:

\(r^2 + (R - h)^2 = R^2 \)

\(r^2 + 12^2 = 13^2 \)

\(r^2 = 25 \)

\(r=5 \ cm \)

Questão 2

(Unifenas) Uma laranja possui 10 centímetros de diâmetro. Caso um corte transversal seja feito a uma distância de 3 centímetros do centro, obteremos uma tampinha. Qual é o volume desta tampinha, ou seja, qual é o volume da calota esférica?

A) \(\frac{51}{3} \pi \)

B) \(\frac{45}{3} \pi \)

C) \(\frac{52}{5} \pi \)

D) \(\frac{52}{3} \pi \)

E) \(\frac{52}{7} \pi \)

Resolução: letra D

Como a laranja possui 10 centímetros de diâmetro, então \(R = 5\). Note que \(R - h = 3\), ou seja, \(h =2\). Portanto:

\(V_{\text{calota}} = \frac{1}{3} \pi \cdot h^2 \cdot \left(3R - h\right) \)
\(V_{\text{calota}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 2^2 \cdot \left(3 \cdot 5 - 2\right) \)
\(V_{\text{calota}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 13 \)
\(V_{\text{calota}} = \frac{52}{3} \pi \)

Fontes:

DOLCE, O; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica. 7ª ed. Santos: Atual, 2013.

TAVARES, M. C. F. P. Superfícies e sólidos esféricos. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 2019. Disponível em https://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/4697.