Condições para equivalência de sistemas

No artigo de Equivalência de sistemas vimos que sistemas lineares são considerados equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.

Passando por este pensamento e refletindo acerca de como o conhecimento matemático é abordado nas provas de concursos e vestibulares, bem sabemos que dificilmente encontraremos questões do tipo “Verifique se os dois sistemas são equivalentes”.
Normalmente é cobrado um conhecimento superior à simples definição. Sendo assim, veremos que a equivalência de sistemas é utilizada para a verificação das “condições para equivalência”, que são impostas nos coeficientes das equações que compõem o sistema.

Vejamos um exemplo para que fiquem esclarecidos todos estes conceitos e definições.

Quais são os valores que a e b podem assumir para que os sistemas sejam equivalentes?

O objetivo é determinar os valores de a, b que estão no segundo sistema linear. Como queremos que os sistemas sejam equivalentes, eles devem ter o mesmo conjunto solução. Veja que através do primeiro sistema podemos determinar o conjunto solução, ou seja, iremos obter os valores de x e de y.

Resolvendo o primeiro sistema.

Veja que o conjunto solução é: S={(7,-2)}, e como os sistemas são equivalentes, este valores satisfazem o segundo sistema. Iremos substituir estes valores no segundo sistema, a fim de encontrarmos os valores de a e b.

Da primeira equação teremos:

Da segunda equação teremos:

Para que estes sistemas sejam equivalentes, os valores de a e b devem ser 4 e 6, respectivamente. Sendo assim, podemos afirmar que os seguintes sistemas são equivalentes:

Vimos que podemos estudar a equivalência de sistemas lineares através de condições impostas nos coeficientes de cada equação, para que assim possamos determinar quais devem ser os valores destes coeficientes, de modo que os sistemas sejam, de fato, equivalentes.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática