Teorema de Binet

Uma das operações entre matrizes que mais demanda trabalho é a multiplicação de matrizes. Portanto, se não tivéssemos o teorema de Binet, que nos ensina a calcular o determinante do produto de duas matrizes, teríamos que encontrar a matriz-produto referente à multiplicação destas matrizes e, posteriormente, calcular o determinante dessa matriz-produto.

Para compreendermos melhor tudo isto, vejamos um exemplo que ilustra o que foi dito anteriormente, no qual calcularemos o determinante sem conhecermos o teorema de Binet.

Calcule o det(A.B), sabendo que:

Devemos calcular o produto das matrizes A por B.

Agora vejamos a proposição do teorema de Binet e analisemos qual método é mais interessante.

O teorema de Binet nos diz o seguinte:

“Tendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem, e AB a matriz-produto, então temos que det (AB)=(det A). (detB)”

Ou Seja, não havia necessidade de encontrarmos o produto das matrizes, pois, segundo Binet, basta calcular o determinante de cada uma das matrizes e depois multiplicar esses determinantes.

Com isso a resolução do determinante proposto anteriormente ficaria da seguinte forma:

Veja que utilizando o teorema de Binet a quantidade de cálculos feitos foi menor e com um trabalho também menor. Portanto, quando você tiver que calcular o determinante do produto de matrizes, não encontre o produto destas matrizes, faça o determinante de cada uma dessas matrizes e multiplique-os.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática