Intersecção de retas concorrentes

Relembrado a definição de retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se, somente se, possuírem um ponto em comum, ou seja, a intersecção das duas retas é o ponto em comum.

Considerando a reta t e u e as suas respectivas equações gerais das retas, a_tx + b_ty + c_t = 0 e a_ux + b_uy + c_u = 0. Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que são concorrentes, pois possui o ponto A em comum.

O sistema formado com as equações gerais das retas terá como solução o par ordenado (x₀, y₀) que representa o ponto de intersecção.

Exemplo: As equações gerais das duas retas r e s são respectivamente, x + 4y – 7 = 0 e 3x + y + 1 = 0. Determine o ponto P(x0, y0) comum às retas r e s.

Sabemos que o ponto de intersecção de duas retas concorrentes é a solução do sistema formado por elas. Assim, veja a resolução do sistema abaixo:

x + 4y – 7 = 0
3x + y + 1 = 0

x + 4y = 7     (-3)
3x + y = -1

-3x  –  12y   = -21
 3x   +   y      = -1
           -11y   = -22
y = 2

Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações iremos obter o valor de x:

x + 4y = 7
x + 4 . 2 = 7
x + 8 = 7
x = 7 – 8
x = -1

Portanto, o ponto P(x₀, y₀) = (-1,2).

No início da explicação foi dito que as retas t: a_tx + b_ty + c_t = 0 e u: a_ux + b_uy + c_u = 0 são concorrentes. Para que seja verdadeira essa afirmação o sistema formado por elas deverá ser possível e determinado, essa verificação irá funcionar da seguinte forma:

a_tx + b_ty + c_t = 0
a_ux + b_uy + c_u = 0

a_tx + b_ty = - c_t
a_ux + b_uy = - c_u 

E para que esse sistema seja possível e determinado, o seu determinante deverá ser diferente de zero.



Exemplo: Verifique se as retas 2x + y – 3 = 0 e 6x + 5y + 1 = 0 são concorrentes.

2x + y = 3
6x + 5y = -1



2 . 5 – (1 . 6) ≠ 0
10 – 6 ≠ 0
4 ≠ 0