Geometria Analítica

A Geometria Analítica é o campo da Matemática que estuda a Geometria associada à Álgebra. Nessa abordagem, os objetos geométricos são relacionados a sistemas de coordenadas e equações que são analisadas algebricamente. Essa interação expande as possibilidades e os resultados da Geometria Plana e Espacial, permitindo a exploração de novas ferramentas matemáticas.

Leia também: Geometria Espacial — análise dos objetos tridimensionais no espaço 

Resumo sobre Geometria Analítica

• Geometria Analítica é o tratamento algébrico para estudo da Geometria Plana e Espacial.
• Os elementos geométricos são associados a pontos no espaço cartesiano e as distâncias são determinadas pelas respectivas coordenadas.
• O estudo de vetores é essencial para a compreensão de diversos conceitos de Geometria Analítica, além de ser fundamental em outras áreas do conhecimento, como a Física e a Astronomia.
• As fórmulas de distância entre pontos e as equações da reta são expressões muito utilizadas na Geometria Analítica.

O que a Geometria Analítica estuda?

Os conceitos, elementos, formas, figuras, sólidos e propriedades estudados tradicionalmente na Geometria Plana e na Geometria Espacial também são objetos de estudo da Geometria Analítica. A diferença é que a Geometria Analítica adota um método algébrico, com maior destaque para as expressões (principalmente equações) do que para os desenhos.

Principais conceitos da Geometria Analítica

Vejamos alguns dos principais conceitos trabalhados na Geometria Analítica.

• Coordenadas cartesianas: a cada ponto do plano cartesiano é associado um par de coordenadas (x,y) que indicam a localização desse ponto. No espaço tridimensional, tem-se (x,y,z).
• Vetores: segmentos orientados representados por flechas no plano cartesiano ou no espaço.
• Equação da reta: expressão algébrica que descreve todos os pontos (x,y) que pertencem a uma reta.
• Equação da circunferência: expressão algébrica que descreve todos os pontos (x,y) que pertencem a uma circunferência, ou seja, que estão a uma distância fixa de um ponto central.
• Cônicas: as formas geométricas obtidas pela interseção de um plano com um duplo cone de revolução. Além da circunferência, temos a elipse, a hipérbole e a parábola. Saiba mais sobre as cônicas clicando aqui.

Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos

Principais fórmulas da Geometria Analítica

Vamos conhecer algumas das principais fórmulas da Geometria Analítica.

• Distância entre dois pontos

Dados dois pontos \(A=\left(x_1,y_1\right)\) e \(B=\left(x_2,y_2\right)\), a distância entre A e B é dada por:

\(d_{AB}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\)

• Equação geral da reta

Os pontos (x,y) que pertencem a uma reta r devem satisfazer a equação:

\(ax+by+c=0\)

Em que a, b e c são constantes reais. Saiba mais sobre esse tópico clicando aqui.

• Distância entre ponto e reta

Dado um ponto P = (x₀,y₀) e uma reta r de equação ax + by + c = 0, a distância entre P e r é dada por:

\(d_{P,r}=\frac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

• Equação reduzida da circunferência

Os pontos (x,y) que pertencem a uma circunferência c devem satisfazer a equação:

\(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2\)

Em que (a,b) é o centro da circunferência e r é o raio.

Aplicações da Geometria Analítica no cotidiano

A Geometria Analítica é aplicada em contextos que utilizam coordenadas. Alguns exemplos são:

• projetos de construção civil;
• funcionamento de um GPS;
• modelagem de objetos 3D na computação gráfica;
• estudo de movimentos na Física;
• análises topográficas, cartográficas e astronômicas.

Diferenças entre Geometria Analítica e Álgebra Linear

A Geometria Analítica utiliza ferramentas da Álgebra Linear para obter informações e resultados sobre objetos geométricos. Já o foco da Álgebra Linear é a generalização de conceitos, estruturas e processos algébricos, como a solução de sistemas de equações. As matrizes e os vetores são exemplos de temas importantes de estudo da Álgebra Linear.

Saiba mais: Expressões algébricas — o que são, tipos, exemplos e exercícios

Exercícios resolvidos sobre Geometria Analítica

Questão 1

Qual a distância em os pontos A=(1,5) e B=(4,1)?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Resolução

Aplicando a fórmula \(d_{AB}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\), temos que:

\(d_{AB}=\sqrt{\left(4-1\right)^2+\left(1-5\right)^2}\)

\(d_{AB}=\sqrt{25}=5\)

Alternativa D

Questão 2

Uma circunferência que passa pelo ponto (4,3) é descrita pela equação \(\left(x-4\right)^2+y^2=9\). Qual o raio dessa circunferência?

a) 3

b) 6

c) 9

d) 12

e) 15

Resolução

Comparando a equação dada com a equação reduzida da circunferência \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2\) , temos que o ponto (4,0) é o centro e o raio é 3 (pois 3² = 9).

Alternativa A

Fontes

BOULOS, P.; CAMARGO; I. de. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. 3 ed. São Paulo: Pearson, 2006.

LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.