Teorema de Laplace

O teorema de Laplace foi desenvolvido para o estudo das matrizes. Durante a resolução de sistemas lineares, é bastante recorrente que o problema torne-se uma matriz, além de outras situações em que o conjunto de dados é representado por uma matriz.

Na busca de encontrar o determinante dessas matrizes, foi desenvolvido o teorema de Laplace, sendo um método eficiente para calcular-se o determinante de matrizes. A aplicação desse teorema pode ser feita em qualquer matriz quadrada. Para aplicá-lo, é necessário aprender a calcular o menor complementar e o cofator de um elemento da matriz.

Menor complementar

Para qualquer matriz quadrada, conhecemos como menor complementar de um elemento o determinante da matriz calculado eliminando-se a linha e a coluna às quais esse elemento da matriz pertence. O menor complementar de um elemento é representado comumente como D_ij.

Exemplo:

Analise a matriz de ordem três a seguir:

a) Calcule o menor complementar D_22.

Para calcular D_22, vamos eliminar a segunda linha e a segunda coluna da matriz:

Note que, ao removermos a linha 2 e a coluna 2, com os termos restantes, é possível fazermos uma nova matriz, e então calcularemos o determinante dessa nova matriz.

D₂₂ = 1 · 0 – 3 · 7 = 0 – 21 = -21

b) Calcule o menor complementar D_31.

Para calcular D_22, vamos eliminar a terceira linha e a primeira coluna da matriz:

Agora calcularemos o determinante da matriz formada pelos termos restantes:

D₃₁ = 2 · 6 – 3 · 5 = 12 – 15 = -3

Cofator

Conhecemos como Cofator C_ij um número associado a cada um dos elementos da matriz, esse cofator é calculado pela seguinte fórmula:

Exemplo:

Dada a matriz a seguir:

a) Calcule C₁₂

Utilizando a fórmula, temos que:

C₁₂ = (-1)¹⁺² D₁₂

C₁₂ = (-1)³ D₁₂

C₁₂ = (-1) · D₁₂

Agora calcularemos D₁₂ . Para isso, é necessário eliminar a primeira linha e a segunda coluna:

Com os termos restantes, calcularemos o determinante:

Sendo assim:

 D₁₂ = -38

C₁₂ = - (-38)

C₁₂= + 38

Agora que já sabemos como calcular o menor complementar e o cofator, vamos compreender como aplicar o teorema de Laplace para encontrar o determinante de matrizes, inclusive de uma matriz de ordem 4.

Aplicando o teorema de Laplace

O teorema de Laplace, assim como a regra de Sarrus, é um método para encontrar o determinante de uma matriz.

Enunciado do teorema:

Seja A uma matriz quadrada, o determinante de A, ou seja, det (A), é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.

De modo algébrico, dada uma linha k, sabendo que A possui n linhas e n colunas, temos que:

det (A) = a_k1C_k1 + a_k2C_k2 + … + a_knC_kn

Do mesmo modo que é possível encontrar esse determinante em uma coluna, seja c a coluna, então temos que:

det(A) = a_1cC_1c + a_2cC_2c + … + a_ncC_nc

Exemplo:

Calcule, por meio teorema de Laplace, o determinante da matriz:

Primeiro vamos escolher uma linha ou uma coluna da matriz, o mais conveniente é escolher aquela fila que possui a maior quantidade de 0 (a fim de simplificarmos a conta), porém não há nenhum 0 na nossa matriz. Sendo assim, podemos escolher a linha ou a coluna que acharmos mais conveniente. Escolhendo a linha 1, temos que:

det(A) = a₁₁C_{11 +} a₁₂C_{12 +} a₁₃C₁₃

Dessa forma, temos que:

Exercícios resolvidos

Questão 1 - O determinante da matriz B, de ordem 4, a seguir

é igual a:

A) 8

B) -8

C) 34

D) -34

E) 30

Resolução

Alternativa C

Para encontrar o det(B), vamos escolher uma fila. Nesse caso, as mais convenientes são a coluna 1 e a coluna 3, que possuem dois elementos iguais a 0. Escolhendo a coluna 3, teremos:

det(B) = b₁₃ C₁₃ + b₂₃C₂₃ + b₃₃C₃₃ + b₄₃C₄₃
det(B) = 0 · C₁₃ + 3 · C₂₃ + 0 · C₃₃ + 1 · C₄₃

Como 0 é o elemento neutro da multiplicação, temos que:

det(B) = 0 + 3 · C₂₃ + 0 + 1 · C₄₃
det(B) = 3 · C₂₃ + 1 · C₄₃

Questão 2 - O cofator do elemento a₃₁ da matriz A é igual a:

A) -3

B) -4

C) 4

D) 3

E) 2

Resolução

Alternativa C

O cofator C₃₁ é dado por:

C₃₁ = (-1)³⁺¹ D₃₁

C₃₁ = (-1)⁴ D₃₁

C₃₁ = 1 · D₃₁

Ao eliminarmos a terceira linha e a primeira coluna da matriz, encontraremos que:

\(D_{31} = \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 5 & 4 \end{array} \right| = 4 - 0 = 4 \)

Assim, o cofator do elemento a₃₁ é igual a 4.

Alternativa c