Cofator de uma matriz

Compreender o cofator é um pré-requisito para o estudo do teorema de Laplace, que é utilizado para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de qualquer ordem (ordem 1, 2, 3, …, n).

Temos que cada elemento de uma matriz quadrada possui o seu respectivo cofator, sendo este cofator um valor numérico, que é obtido através da expressão a seguir:

Considere que A seja uma matriz quadrada qualquer:

O cofator do elemento aij desta matriz A é obtido da seguinte forma:

Devemos compreender os elementos dessa expressão. O valor A_ij é justamente o cofator do elemento aij da matriz A, enquanto que D_ij será o determinante da matriz obtida através da matriz A, entretanto você deverá excluir da matriz A os elementos da linha i e da coluna j. Façamos um exemplo para melhor compreensão dessa expressão do cofator.

Exemplo: Determine os cofatores dos elementos a₁₁, a₂₂, a₃₃ da matriz A.

O cofator do elemento a₁₁ será determinado pela seguinte expressão:

Portanto, devemos determinar o determinante da matriz D₁₁, matriz obtida retirando a 1ª linha e 1ª coluna da matriz A.

Com isso, podemos calcular o cofator A₁₁.

De maneira semelhante procederemos com os outros cofatores, veja:

Mesmo procedimento para o cofator A₃₃:

Os procedimentos são todos iguais, mudando apenas o expoente do termo (-1) e os determinantes de cada matriz Dij. Compreendendo esses cálculos, o cálculo de determinantes pelo teorema de Laplace se torna extremamente fácil.