Equação equivalente
Princípio da igualdade
Para melhor visualizarmos uma igualdade, vamos observar a balança de dois pratos.
Na balança acima temos uma balança equilibrada (igual), pois a quantidade de cubos que tem em um prato é a mesma que tem em outro. Os cubos verdes e laranja têm massas iguais.
Agora, se pegarmos essa mesma balança e somarmos ou retirarmos cubos? O que irá acontecer?
6 + 2 = 1 + 7
Para que a balança continue em equilíbrio o mesmo peso que colocarmos em um lado deveremos colocar do outro, então:
acrescentei 3 cubos laranjas em cada lado.
6 + 2 + 3 = 1 + 7 + 3
Se retirarmos algum cubo, devemos retirar a mesma quantidade de cada lado para que a balança continue equilibrada.
Princípio aditivo da igualdade: adicionando ou subtraindo um mesmo número nos dois membros de uma igualdade obtém-se outra sentença que ainda é uma igualdade.
Observe a balança abaixo:
2 + 3 = 1 + 4
Se dobrarmos a quantidade de cubos em cada lado teremos:
2 . (2 + 3) = 2 . (1 + 4)
Concluímos que 2 + 3 = 1 + 4 e 2 . (2 + 3) = 2 . (1 + 4) são duas igualdades.
Princípio multiplicativo da igualdade: Multiplicando ou dividindo por um mesmo número (diferente de zero) os dois membros de uma igualdade obtém-se uma nova sentença que ainda é uma igualdade.
Equações Equivalentes
Para obter duas equações equivalentes partiremos do mesmo princípio da igualdade.
Por exemplo, observe essas igualdades:
3X + 2 = X + 10 (equação 1)
Para que seja verdadeira essa igualdade o X nos dois lados irá assumir o mesmo valor:
X = 4 (equação 2)
Então:
3 . 4 + 2 = 4 + 10
12 + 2 = 4 + 10
14 = 14
2X = 8 (equação 3)
2 . 4 = 8
8 = 8
X = 4 (equação 4)
Nas equações 1, 2, 3, 4 o valor da incógnita (raiz da equação) é o mesmo, dizemos que elas são equivalentes entre si.
Para acharmos mais facilmente a raiz de uma equação transformamos a equação inicial em outras equações mais simples até chegar ao valor da incógnita.
Para transformar as equações em outras equivalentes utilizamos:
O princípio aditivo da equivalência de equações – conseqüência do princípio aditivo da igualdade.
O principio multiplicativo da equivalência de equações – conseqüência do princípio multiplicativo da igualdade