Equação fundamental da reta

Toda reta não-vertical (reta que possui inclinação diferente de 90º) possui uma equação que representa todos os seus pontos. Essa equação é demonstrada através de um ponto pertencente a essa reta mais o seu coeficiente angular (m).

Considere uma reta s não vertical que passa pelo ponto B (x₀, y₀) de coeficiente igual a m.



O outro ponto A(x,y), pertencente ao plano cartesiano, irá pertencer a reta s se o cálculo do coeficiente angular (m) da reta s for igual:

m = ∆y = y – y₀ 
        ∆x     x – x₀

Podemos representar essa igualdade da seguinte forma:

m = y – y₀
        x – x₀

y – y₀ = m (x – x₀)

Essa equação formada é chamada de equação fundamental da reta.

Dessa forma podemos concluir que a equação fundamental da reta é obtida por um ponto pertencente a essa reta mais o seu coeficiente angular, ficando sempre em função de outro ponto.

Exemplo 1:

Determine a equação fundamental da reta que passa pelo P(1/4,-3,2) de coeficiente angular m = -1/2.

Os dados oferecidos no enunciado são:
P(x₀, y₀) = (1/4,-3,2)
m = -1/2

Substituindo-os na equação fundamental da reta temos:

y – y₀ = m (x – x₀)

y – (-3/2) = -1/2 (x – 1/4)
y + 3/2 = -1/2 (x – 1/4)
2(y + 3/2) = -x + 1/4
2y + 3 = -x + 1/4

8y + 12 = -4x + 1
     4                4

4x + 8y + 11 = 0

Exemplo 2:

Represente por meio de uma equação a reta que passa por esses dois pontos A(1,8) e B(4,2).

Foi dito na explicação acima que a equação fundamental de uma reta é determinada por um ponto pertencente à reta e o seu coeficiente angular. O ponto foi dado no enunciado, falta calcular o seu coeficiente angular.

m = yB - yA
        xB – xA

m = 2 – 8 = - 6 = - 2 
        4 – 1       3

Escolha um dos dois pontos e monte a equação fundamental da reta que passa pelos pontos A e B.

Ponto A (1,8) e m = -2

y – y₀ = m (x – x₀)
y – 8 = - 2 (x – 1)
y – 8 = - 2x + 2
2x + y – 10 = 0.