Equação Modular

Equações são expressões matemáticas algébricas que possuem uma ou mais incógnitas, sempre apresentadas com o sinal de igualdade. Equação modular se enquadra neste conceito geral, mas no caso das modulares, as incógnitas se encontram dentro do módulo; dessa forma, devemos respeitar as condições do módulo de um número, que é a seguinte:

|x| = x, se x ≥ 0
-x, se x < 0

Veja alguns exemplos de equações que são modulares:

|x + 3| = 5

|x| – 9 = 8

– |2x| = 10

3*|x|2 – 8*|x| + 5 = 0

|x2 – 2x + 8| = 32


Para uma melhor compreensão da resolução de uma equação modular, acompanhe as demonstrações a seguir:

Exemplo 1
|x| = 6
Para descobrir o valor de x devemos pensar da seguinte forma: um número real terá sempre um valor positivo como resultado do seu módulo, e 6 é positivo, mas o valor de x poderá ser +6 ou –6, pois |+6| = 6 e |–6| = 6, portanto, x = 6 ou x = –6


Exemplo 2
|x| = 0
Como zero tem valor nulo (não possui sinal) dizemos que o único valor que x poderá assumir será 0, portanto, x = 0.


Exemplo 3
|x| = –12
Como um número real terá sempre um valor positivo ou nulo, no caso em que o módulo é –12 não irá existir valor real para x, portanto, a solução dessa equação será conjunto vazio.

Exemplo 4
|x + 3| = 5

x + 3 = 5 → x = 5 – 3 → x = 2
x + 3 = –5 → x = –5 –3 → x = – 8


Exemplo 5
|x + 5| = x + 5
Condição: x + 5 ≥ 0, a equação só é possível se x + 6 ≥ 0, ou seja, x ≥ – 6.

x + 5 = x + 5 → x – x = 5 – 5 → 0x = 0 (indeterminado)
x + 5 = –(x+5) → x + 5 = –x –5 → x + x = –5 –5 → 2x = –10 → x = –5

S = {x ? R / x = –5}



Exemplo 6
|x – 3| + 4x = 8
|x – 3| = 8 – 4x

Condição: x – 3 ≥ 0, se 8 – 4x ≥ 0, ou seja, –4x ≥ –8 → 4x ≤ 8 → x ≤ 2.

x – 3 = 8 – 4x → x + 4x = 8 + 3 → 5x = 11 → x = 11/5 (não satisfaz a condição x ≤ 2)

x – 3 = – (8 – 4x) → x – 3 = – 8 +4x → x – 4x = – 8 + 3 → –3x = –5 → x = 5/3 (satisfaz a condição x ≤ 2)

S = {x ? R / x = 5/3}