Intersecção de retas concorrentes
Relembrado a definição de retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se, somente se, possuírem um ponto em comum, ou seja, a intersecção das duas retas é o ponto em comum.
Considerando a reta t e u e as suas respectivas equações gerais das retas, atx + bty + ct = 0 e aux + buy + cu = 0. Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que são concorrentes, pois possui o ponto A em comum.
O sistema formado com as equações gerais das retas terá como solução o par ordenado (x0, y0) que representa o ponto de intersecção.
Exemplo: As equações gerais das duas retas r e s são respectivamente, x + 4y – 7 = 0 e 3x + y + 1 = 0. Determine o ponto P(x0, y0) comum às retas r e s.
Sabemos que o ponto de intersecção de duas retas concorrentes é a solução do sistema formado por elas. Assim, veja a resolução do sistema abaixo:
x + 4y – 7 = 0
3x + y + 1 = 0
x + 4y = 7 (-3)
3x + y = -1
-3x – 12y = -21
3x + y = -1
-11y = -22
y = 2
Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações iremos obter o valor de x:
x + 4y = 7
x + 4 . 2 = 7
x + 8 = 7
x = 7 – 8
x = -1
Portanto, o ponto P(x0, y0) = (-1,2).
No início da explicação foi dito que as retas t: atx + bty + ct = 0 e u: aux + buy + cu = 0 são concorrentes. Para que seja verdadeira essa afirmação o sistema formado por elas deverá ser possível e determinado, essa verificação irá funcionar da seguinte forma:
atx + bty + ct = 0
aux + buy + cu = 0
atx + bty = - ct
aux + buy = - cu
E para que esse sistema seja possível e determinado, o seu determinante deverá ser diferente de zero.
Exemplo: Verifique se as retas 2x + y – 3 = 0 e 6x + 5y + 1 = 0 são concorrentes.
2x + y = 3
6x + 5y = -1
2 . 5 – (1 . 6) ≠ 0
10 – 6 ≠ 0
4 ≠ 0