Probabilidade de dois eventos sucessivos ou simultâneos

Através da fórmula da probabilidade condicional

determinamos a fórmula para o cálculo da probabilidade de dois eventos simultâneos, que é dada por:

Note que para se obter a probabilidade de ocorrerem dois eventos sucessivos, que é p(A∩B), basta multiplicar a probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu.

Quando o fato de ter ocorrido o evento B não alterar a probabilidade de ocorrer o evento A, ou seja, quando A e B forem eventos independentes, a fórmula se reduz a:
P(A∩B)=p(A)*p(B)

Vejamos alguns exemplos de aplicação dessas fórmulas.

Exemplo 1. Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de ocorrer coroa e número primo?

Solução: Primeiro, vamos determinar o espaço amostral S, que é o conjunto com todos os possíveis resultados. Para melhor compreensão, iremos denominar cara de C e coroa de K. Assim,

S = {(C, 1); (C; 2); (C, 3); (C, 4); (C, 5); (C, 6); (K; 1), (K, 2); (K, 3); (K, 4); (K, 5); (K, 6)}  n(S) = 12

Vamos descrever os eventos A e B.
A: ocorrer coroa
B: ocorrer número primo

É fácil ver que esses dois eventos são independentes, um pode ocorrer sem a interferência do outro. Dessa forma, para resolução, utilizaremos a fórmula:

P(A∩B)=p(A)∙p(B)
p(A) = ½, pois no lançamento de uma moeda há metade de chance de sair cara e metade de sair coroa.
p(B) = 3/6 = ½, pois dos 6 possíveis resultados no lançamento de um dado, três deles são números primos.
Logo,
P(A∩B)=1/2*1/2=1/4

Exemplo 2. Uma urna contém 10 etiquetas identificadas pelas letras A, B, C, D, ..., I, J. Duas delas são retiradas ao acaso, sucessivamente. Qual a probabilidade de saírem duas vogais, se a extração é feita sem reposição?

Solução: Vamos determinar os dois eventos envolvidos.

Evento A: sair uma vogal
Evento B: sair uma vogal

O fato de não haver reposição das etiquetas indica que a ocorrência de um evento interfere na ocorrência do outro, pois não haverá a mesma quantidade de etiquetas após a ocorrência de um deles. Dessa forma, utilizaremos a expressão:
P(A∩B)=p(A│B)∙p(B)

Vamos então calcular p(B) e p(A|B).
p(B)= 3/10, pois, das dez letras, apenas 3 são vogais.
p(A│B)= 2/9, pois, se B ocorreu, restaram 9 letras e, dessas, apenas 2 são vogais.
Logo,
P(A∩B)=2/9∙3/10=6/90=1/15

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática