Aplicação dos Números Complexos

A resolução de uma equação do 2º grau consiste em determinar os possíveis valores da incógnita em relação ao valor do discriminante. As condições para a determinação do conjunto solução são as seguintes:

∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas, x’ ≠ x’’.
∆ = 0, a equação possui raízes reais iguais, x’ = x’’.
∆ < 0, a equação não possui raízes reais.

Observe que as condições foram determinadas dentro do conjunto dos números reais, e nesse conjunto numérico quando ∆ < 0, a equação não possui raízes. Isso ocorre porque o valor do discriminante é aplicado na fórmula resolutiva de Bháskara dentro de uma raiz quadrada, veja:

Pelo conjunto dos números reais e pela regra operatória de raízes quadradas, não existe solução quando o radicando é um número negativo, isto é, não existe raiz quadrada de números negativos, pois não existe número elevado ao quadrado que resulta em negativo. Nesse caso, quando deparamos com uma equação do 2º grau, na qual o cálculo do discriminante resulta em número negativo, dizemos que não existe solução da equação pertencente aos números reais.

Essas equações, somente terão conjunto solução dentro do conjunto dos números complexos, pois nesse espaço utilizamos uma unidade imaginária, representada por i² = –1. Portanto, caso o discriminante seja negativo, utilizamos essa técnica dos números complexos. Observe:

Vamos utilizar essa característica referente à unidade imaginária dos números complexos na determinação das raízes da seguinte equação do 2º grau: 4x² – 4x + 2 = 0.

Exemplo 2

Calcular a solução da equação x² – 14x + 50 = 0, considerando o conjunto dos números complexos.