Plano de Argand-Gauss (plano complexo)

O plano de Argand-Gauss, conhecido também como plano complexo, é um meio para representar geometricamente números complexos. Essa representação permitiu o desenvolvimento de vários conceitos, como o argumento de um número complexo, módulo de um número complexo, conjugado de um número complexo, entre outros.

Os estudos sobre o plano complexo foram desenvolvidos pelos matemáticos Argand e Gauss, o que justifica seu nome. Os números complexos da forma z = a + bi são representados como coordenadas (a,b), em que a é a parte real e b é a parte imaginária. Essa representação recebe o nome de afixo ou imagem geométrica do número z.

Leia também: Representação geométrica da adição de números complexos 

Representação geométrica de números complexos

O plano de Argand-Gauss, que também recebe o nome de plano complexo, é uma adaptação do plano cartesiano, permitindo realizar-se a representação geométrica de um número complexo e, consequentemente, desenvolver-se os estudos na geometria analítica para melhor compreensão dos números complexos.

Os números complexos causaram grande inquietação nos matemáticos ao longo da história, já que não era possível calcular-se o valor da raiz quadrada de um número negativo. Para lidar com essa situação, uma das soluções foi a representação desses números na forma algébrica, a + bi, em que a é a sua parte real e b é a sua parte imaginária, ambos números reais.

Para representar o número complexo no plano de Argand-Gauss, transformamos a forma algébrica em um par ordenado (a,b), o eixo horizontal é conhecido como eixo real, e o eixo vertical como eixo imaginário, logo, a representação do número complexo z = a + bi pode ser feita.

Afixos

A representação de um número complexo no plano cartesiano é conhecida também como afixo ou como imagem de um número complexo. Existem três casos de afixos, quando o número complexo é um número imaginário qualquer (que é a representação gráfica que fizemos anteriormente), e existem mais dois casos particulares, quando o número complexo é um número real ou quando é um número imaginário puro.

• Número imaginário

Um número complexo é conhecido também como número imaginário. Nesse caso, faremos a representação de um número imaginário quando ele não é nem real, nem imaginário puro, logo, a representação é feita por um ponto em alguns dos quadrantes do plano complexo, a depender do sinal de sua parte real e de sua parte imaginária.

• Número imaginário puro

Um número complexo recebe esse nome quando a sua parte real é nula, ou seja, z = bi, nesse caso a = 0. A representação no plano complexo de um imaginário puro são pontos do tipo (0,b). Nesse caso, quando o valor da parte real é igual a zero, esse ponto localiza-se em cima do eixo vertical, ou seja, um número imaginário será representado por um ponto que pertence ao eixo da parte imaginária.

• Número real

O número complexo é um número real quando o valor de sua parte imaginria é igual a zero, o que justifica o fato de que o conjunto dos números reais esteja contido no conjunto dos números complexos, ou seja, todo número real é um número complexo. Ao representar um número real no plano complexo, o afixo será do tipo (a,0), nesse caso, esse será um ponto contido no eixo horizontal, ou seja, que está contido no eixo real.

Módulo de um número complexo

Na representação de um número complexo, seja P (a,b), o afixo do número complexo z = a + bi, conhecido como módulo de z, é representado por |z|, a distância do ponto P até a origem. A ideia de módulo é essa desde os números reais, porém os números reais são representados como um ponto da reta numérica e não como pontos de um plano.

Então, para sabermos o módulo de um número complexo, vamos calcular a distância entre a origem e o ponto P (dPO). O cálculo da distância entre dois pontos no plano complexo utiliza a mesma fórmula para distância entre dois pontos no plano cartesiano, assim, utilizamos o teorema de Pitágoras:

Exemplo:

Calcule o módulo do número complexo z = 3 – 4i.

Veja também: Propriedades do conjugado e do módulo de números complexos

Argumento de um número complexo

O argumento de um número complexo é o ângulo formado entre o eixo da parte real e o vetor OP.

O cálculo do valor do argumento depende diretamente o valor do seno e do cosseno desse ângulo, logo, utilizamos as fórmulas:

Em questões de vestibulares e processos seletivos, o argumento escolhido é de ângulos notáveis e ângulos simétricos a esses ângulos notáveis, já que são os ângulos de que conhecemos o valor de seu seno e cosseno. Caso se trate um ângulo diferente dos notáveis, é necessário a consulta de uma tabela com os valores do seno e do cosseno de todos os ângulos.

Exemplo:

Calcule o argumento de:

1º passo: calcular o |z|.

2º passo: encontrar o seno e o cosseno.

Veja mais: 2ª fórmula de Moivre – forma de achar as raízes dos números complexos na forma trigonométrica

Exercícios resolvidos

Questão 1 - No plano complexo a seguir, podemos considerar como número real os pontos:

a) Somente K e L

b) Somente G e L

c) Somente G

d) Somente G e K

e) Somente I e J

Resolução

Alternativa D. Analisando o plano complexo, temos que os pontos contidos no eixo real são os pontos G e K.

Questão 2 - Dado o ponto Z no plano cartesiano, o quadrado de |z| é igual a:

Resolução

Alternativa C.

1º passo: identificar o número complexo na forma algébrica. Note que z = 3 + 2i.

2º passo: calcular |z|²: