Sistemas e Equações Lineares

Equações Lineares

As equações do tipo a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + .....+ a_nx_n = b, são equações lineares, onde a₁, a₂, a₃, ... são os coeficientes; x₁, x₂, x₃,... as incógnitas e b o termo independente.
A equação 4x – 3y + 5z = 31 é uma equação linear. Os coeficientes são 4, –3 e 5; x, y e z as incógnitas e 31 o termo independente.

Para x = 2, y = 4 e z = 7, temos 4*2 – 3*4 + 5*7 = 31, concluímos que o terno ordenado (2,4,7) é solução da equação linear
4x – 3y + 5z = 31.

Para x = 1, y = 0 e z = 3, temos 4*1 – 3*0 + 5*3 ≠ 31, concluímos que o terno ordenado (1,0,3) não é solução da equação linear
4x – 3y + 5z = 31.

Sistemas Lineares

Dizemos que o conjunto de equações lineares forma um sistema linear.

Exemplos 

2x + 3y = 10
x – 5y = 2
Sistema linear com duas equações e duas incógnitas.

5x – 6y – 2z = 15
9x – 10y + 5z = 20
Sistema linear com duas equações e três incógnitas.

x + 9y + 6z = 20
3x – 10y – 12z = 5
-x + y + z = 23
Sistema linear com três equações e três incógnitas.

x+ y + z + w = 36
2x – y +2z + 9w = 40
-5x + 3y – 5z + 5w = 16
Sistema linear com três equações e quatro incógnitas.

O sistema linear abaixo admite o terno ordenado (1, 2, 3) como solução.

x + 2y – z = 2
2x – y + z = 3
x + y + z = 6

1 + 2*2 – 3 = 2 → 1+ 4 – 3 = 2 → 2 = 2
2*1 – 2 + 3 = 3 → 2 – 2 + 3 = 2 → 3 = 3
1 + 2 + 3 = 6 → 6 = 6


No entanto, ele não admite como solução o terno ordenado (1, 2, 4).
1 + 2*2 – 4 = 2 → 1+ 4 – 4 = 2 → 1 + 0 = 2 → 1 ≠ 2
2*1 – 2 + 4 = 3 → 2 – 2 + 4 = 2 → 0 + 4 = 3→ 4 ≠ 3
1 + 2 + 4 = 6 → 7 ≠ 6