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Menor complementar

O menor complementar ou menor principal de um elemento da matriz é o determinante da matriz quando eliminamos a linha e a coluna às quais esse elemento da matriz pertence.
O menor complementar é um número associado à matriz.
O menor complementar é um número associado à matriz.

O menor complementar é utilizado para encontrar o cofator de um elemento da matriz, essencial para alguns métodos de cálculo do determinante de matrizes, principalmente matrizes de ordem 3 ou maiores, mas há também outras aplicações, como na inversão de matrizes.

O menor complementar, conhecido também como menor principal, é associado a cada termo da matriz quadrada, ou seja, cada elemento da matriz possui um menor complementar. Para encontrar o menor complementar Dij, associado ao termo aij, construímos uma nova matriz sem a linha i e a coluna j e calculamos o seu determinante. Além do menor complementar, podemos calcular também o cofator de um termo da matriz. Sendo Cij o cofator do termo aij, ele é calculado por Cij = (-1)i+j Dij.

Leia também: Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3

Resumo sobre menor complementar

  • O menor complementar é utilizado para encontrar o cofator associado a um termo da matriz.

  • Representamos o menor complementar do termo aij por Dij.

  • Para encontrar o menor complementar de aij, removemos a linha i e a coluna j da matriz e calculamos o seu determinante.

  • Calculando o menor complementar, é possível também encontrar o cofator Cij, por meio da fórmula Cij = (-1)i+j Dij.

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Como calcular o menor complementar de um elemento da matriz?

O menor complementar ou menor principal é um número associado a cada termo de uma matriz. Calculamos o menor complementar somente para matrizes quadradas de ordem 2 ou superior, isto é, que possuem o mesmo número de linhas e de colunas e que tenham no mínimo duas linhas e duas colunas.

Para calcular o menor complementar associado ao termo aij da matriz, eliminamos a linha e a coluna às quais esse elemento pertence e então calculamos o determinante dessa nova matriz. O menor complementar de um determinado termo da matriz é representado por Dij. Veja, na prática, como calcular o valor do menor complementar de um elemento da matriz.

Exemplo 1:

Começando por um exemplo simples, dada a matriz de ordem 2 a seguir, calcularemos o menor complementar de cada um de seus termos.

Exemplo de matriz 2x2

Resolução:

Essa matriz possui duas linhas e duas colunas, então ela é composta pelos termos:

  • a11 = 2

  • a12 = 3

  • a21 = 1

  • a22 = 4

Quando eliminamos 1 linha e 1 coluna de uma matriz de ordem 2, resta apenas uma matriz com uma linha e uma coluna, ou seja, um único termo. Em matrizes de ordem 2, o menor complementar de um termo será o termo restante.

Menor complementar do termo a11:

Cálculo do menor complementar do termo a11

Como o termo está na primeira linha e primeira coluna, vamos eliminar a linha 1 e a coluna 1 da matriz. Construindo uma matriz com o que restou, teremos a matriz: [4]. Então, o menor complementar é igual ao determinante dessa nova matriz, que é igual a 4. Ou seja:

D11 = 4

Utilizando o mesmo raciocínio, podemos encontrar D12, D21 e D22.

 Exemplo de matriz 2x2

  • Eliminando a primeira linha e a segunda coluna, obtêm-se que D12 = 1;

  • Eliminando a segunda linha e a primeira coluna, obtêm-se que D21 = 3;

  • Eliminando a segunda linha e a segunda coluna, obtêm-se que D22 = 2.

Exemplo 2:

Faremos agora um exemplo de matriz 3x3.

Dada a matriz a seguir, calcule o menor complementar do termo a23:

Exemplo de matriz 3x3

Calcularemos o determinante da matriz, eliminando a linha 2 e a coluna 3.

Demarcação de números a serem considerados para cálculo de determinante em matriz 3x3

Então, temos que:

D23 = 2 (– 1) – 1 · 1 = – 2 – 1 = – 3

Leia também: Propriedades dos determinantes: quais são e como usar?

Menor complementar e cofator

Assim como o menor complementar, o cofator é um número associado a cada elemento da matriz. O cofator do termo que está na linha i e coluna j é representado por Cij. Para calcular um cofator, é necessário encontrar o menor complementar e, então, utilizar a fórmula:

Cij = (-1)i+j Dij

Note, portanto, que o que pode mudar do cofator para o menor complementar é o sinal:

  • quando a soma da linha com a coluna é um número ímpar, o cofator é o inverso do menor complementar;

  • quando a soma da linha com a coluna é um número par, o cofator é igual ao menor complementar.

Exemplo:

Na matriz B vista anteriormente, tinha-se D23 = – 3. Agora, calcularemos C23:

Resolução:

Cij = (– 1)i+j Dij

C23 = (– 1)2+j3D23

C23 = (– 1)2+3 (– 3)

C23 = (– 1)5 (– 3)

C23 = (– 1) (– 3)

C23 = 3

Exercícios resolvidos sobre menor complementar

Questão 1

Analise a matriz A a seguir:

Matriz A 2x2

O valor da diferença entre os menores complementares D22 – D11 é:

A) 1

B) – 1

C) – 7

D) 7

E) 0

Resolução:

Alternativa A

Ao calcular D22, se eliminarmos a linha 2 e a coluna 2, restará a matriz [4], então D22 = 4.

Ao calcular D11, se eliminarmos a linha 1 e a coluna 1, restará a matriz [3], então D11 = 3.

Conclui-se que a diferença entre esses valores é 4 – 3 = 1

Questão 2

(CPCON) A soma dos cofatores dos elementos da diagonal secundária da matriz é:

Exemplo de matriz 3x3

A) 36

B) 23

C) 1

D) 0

E) – 36

Resolução:

Alternativa B

Os cofatores da diagonal secundária são:

C13, C22 e C31

Para calcular C13, eliminaremos a linha 1 e coluna 3. Assim, obteremos a seguinte matriz:

Matriz encontrada após eliminação da linha 1 e coluna 3 da matriz original

Calculando seu cofator, temos que:

C13 = (– 1)1+3 [0 ⸳ 4 – (– 2) ⸳ (– 4)]

C13 = (– 1)4 [0 – (+ 8)]

C13 = 1 ⸳ (– 8) = – 8

Matriz 2x2 para cálculo de cofator

Para calcular C22, eliminamos a linha 2 e a coluna 2:

Calculando seu cofator, temos que:

C22 = (– 1)2+2 [3 ⸳ 1 – (– 2) ⸳ 5]

C22 = (– 1)4 [3 + 10]

C22 = 1 ⸳ 13 = 13

O último cofator é C31, então eliminamos a terceira linha e a primeira coluna.

Matriz encontrada após eliminação da linha 3 e coluna 1 da matriz original

C31 = (– 1)3+1 [2 ⸳ (– 1) – (– 4) ⸳ 5]

C31 = (– 1)4 [– 2 + 20]

C31 = 1 ⸳ 18 = 18

Dessa forma, a soma S dos cofatores da diagonal secundária é:

S = – 8 + 13 + 18 = 23

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira

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