1º caso de fatoração: fator comum
Para fatorar expressões algébricas é necessário observar atentamente qual caso de fatoração pode ser aplicado.
São sete os casos diferentes utilizados na fatoração de expressões algébricas. O primeiro caso é a fatoração por meio do termo em comum ou colocação de termos em evidência.
Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse primeiro caso de fatoração, todos os monômios da expressão algébrica devem ter pelo menos algum termo em comum.
A fatoração é feita colocando o termo comum em evidência, veja alguns exemplos:
?a – ab é uma expressão algébrica, veja como devemos fatorá-la:
É preciso analisar se o 1º caso poderá ser utilizado para a fatoração, então é necessário analisar todos os seus monômios (termos) para ver se há termos em comum.
a – ab essa expressão tem dois monômios a e ab
Os dois possuem termos semelhantes: o termo semelhante é a. Então, colocamos esse termo comum em evidência.
Quando colocamos a em evidência devemos dividir a e ab (os monômios) por a (termo comum), assim:
a : a = 1, pois todo número (ou letra) dividido por ele mesmo é igual a 1.
ab : a = b, pois a : a = 1, então ficaria 1b que é o mesmo que b.
Portanto, a – ab = a (1 – b)
↓
Termos
em evidência
?a3 – 4a2 é uma expressão algébrica, veja como fatorá-la:
Essa expressão algébrica tem 2 monômios a3 e 4a2. Eles têm o a como termo semelhante, então podemos colocá-lo em evidência, mas poderá surgir uma dúvida: devemos colocar o a3 ou a2? Devemos colocar sempre o de menor expoente, então colocamos a2.
Devemos dividir a3 e 4a2 por a2, assim:
a3 : a2 = a, pois a3 = a .a .a, então a . a . a : a2 é o mesmo que 1a = a.
4a2 : a2 = 4, pois a2 : a2 = 1, então ficaria 4 . 1 que é mesmo que 4.
Portanto, a3 – 4a2 = a2 (a – 4).
↓
Termos
em evidência
?x4 - 2x3 + x2 + x é uma expressão algébrica que tem quatro monômios. Eles têm termos em comum. Como esses termos têm mesma base, devemos pegar o de menor expoente, então o termo em comum é x.
O termo em evidência deverá ser dividido pelos monômios x4 , 2x2 , x2 e x, assim:
x4 : x = x3, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.
2x3 : x = 2x2, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.
x2 : x = x, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.
x : x = 1, pois qualquer número ou letra dividido por ele mesmo é igual a 1.
Portanto, x4 - 2x3 + x2 + x = x (x3 – 2x2 + x + 1).
↓
Termos
em evidência
? 4r + 12 é uma expressão algébrica, olhando rapidamente podemos pensar que não existe termo semelhante, o que seria errado, pois o número 12 pode ser fatorado em dois fatores 12 = 4 . 3. Com essa fatoração percebemos que há um termo em comum na expressão algébrica, esse é o 4.
Então, pegamos os monômios 4r e 12 e dividimos por 4, ficando assim:
4r : 4 = 1r ou r
12 : 4 = 3
Portanto, 4r + 12 = 4 (r + 3)
↓
Termos
em evidência
? Para fatorarmos a expressão algébrica (x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) devemos ter um pouco mais de cuidado, pois em primeiro lugar separamos os termos:
(x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) a expressão possui dois termos.
↓ ↓
1º termo 2º termo
O termo semelhante é (x + 1), pois é encontrado tanto no 1º termo, como no 2º.
Então, devemos dividir o 1º termo e o 2º por (x + 1), ficando assim:
[(x + 1) (x – 3)] : (x + 1) = (x – 3)
2 (x + 1) : (x + 1) = 2
Portanto, (x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x – 3 + 2)
(x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x – 1)
↓
Termos
em evidência
Para conferir se as fatorações estão corretas, basta efetuar as fatorações, veja:
Para verificar se a fatoração 4r + 12 = 4 (r + 3) está correta, basta pegar a expressão algébrica fatorada 4 (r + 3) e resolvê-la:
Aplicando a propriedade distributiva temos: 4 (r + 3) = 4 . r + 4 . 3 = 4r + 12. Podemos concluir que a fatoração está correta.
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