Fatorações Simultâneas

As fatorações são utilizadas no intuito de transformar expressões e equações algébricas em procedimentos envolvendo o produto de duas ou mais expressões. Dessa forma, em algumas situações, as equações podem ser resolvidas de forma simples e direta. Para a realização da fatoração simultânea, o conhecimento das técnicas envolvendo termo comum em evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e trinômio soma e produto, é de extrema importância. Em alguns polinômios, a fatoração por completo exige a utilização de duas ou mais técnicas informadas.

Observe alguns exemplos envolvendo a utilização da fatoração simultânea:


Exemplo 1

x³ + 2x² + x
1ª fatoração: fator comum em evidência
x * (x² + 2x + 1)
2ª fatoração: trinômio quadrado perfeito
x * (x + 1)²

x³ + 2x² + x → x * (x + 1)²


Exemplo 2

a²x – b²x
1ª fatoração: fator comum em evidência
x * (a² – b²)
2ª fatoração: diferença entre dois quadrados
x * (a + b) * (a – b)

a²x – b²x → x * (a + b) * (a – b)



Exemplo 3

x²b + 5bx + 6b
1ª fatoração: fator comum em evidência
b * (x² + 5x + 6)
2ª fatoração: trinômio soma e produto
b * (x + 2) * (x + 3)

x²b + 5bx + 6b → b * (x + 2) * (x + 3)


Exemplo 4

4x³ + 3x² – 4y²x – 3y²
1ª fatoração: agrupamento
x² * (4x + 3) – y² * (4x + 3)
(x² – y²) * (4x + 3)
2ª fatoração: diferença entre dois quadrados
(x + y) * (x – y) * (4x + 3)

4x³ + 3x² – 4y²x – 3y² → (x + y) * (x – y) * (4x + 3)



Exemplo 5

a³ – a
1ª fatoração: fator em evidência
a * (a² – a)
2ª fatoração: diferença entre dois quadrados
a * (a + 1 ) * (a – 1)

a³ – a → a * (a + 1 ) * (a – 1)



Exemplo 6

12x³ – 3xy²
1ª fatoração: fator em evidência
3x * (4x² – y²)
2ª fatoração: agrupamento
3x * (2x – y) * (2x + y)

12x³ – 3xy² → 3x * (2x – y) * (2x + y)


Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

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Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva
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Lista de Exercícios

Questão 1

Resolva a expressão (x + y)² – (x – y)² de duas formas distintas.

Questão 2

Simplifique ao máximo a expressão a seguir utilizando os casos de fatoração:

      a² – b²      . a ³ – b³
a² – 2ab + b²     a³ + b³

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