Área de um quadrilátero na geometria analítica

A geometria analítica utiliza expressões algébricas para compreender o comportamento das formas geométricas planas. Através das propriedades da álgebra podemos fazer o estudo de retas, pontos, triângulos, circunferências e demais figuras geométricas.

Veremos como determinar a área de um quadrilátero do ponto de vista da geometria analítica.

Considere quatro pontos distintos do plano A(Xa, Ya), B(Xb, Yb), C(Xc, Yc) e D(Xd, Yd). Se esses pontos não estiverem alinhados, eles determinam um quadrilátero de vértices ABCD, como mostra a figura.

 Traçando uma das diagonais desse quadrilátero, obtemos dois triângulos: triângulo ABC e triângulo ACD. A área do quadrilátero equivale à soma das áreas dos dois triângulos. Sabemos, pelo estudo da geometria analítica, que a área do triângulo no plano é dada por metade do módulo do determinante de suas coordenadas. Assim, a área do quadrilátero ABCD será dada por:

Onde

Vejamos um exemplo de aplicação do método descrito acima.

Exemplo: Calcule a área do quadrilátero de vértices A(1, 5), B(6, 5), C(6, 1) e D(1, 1).

Solução: Traçando uma das diagonais do quadrilátero, obtemos dois triângulos. Assim, a área do quadrilátero será a soma das áreas desses dois triângulos.

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática