Equação reduzida da reta

A equação reduzida da reta é a maneira de representar de forma algébrica a reta, sendo possível obter, por meio do estudo da geometria analítica, informações importantes sobre o comportamento da reta quando representada no plano cartesiano.

A equação reduzida da reta é a equação y = mx + n, em que m e n são, respectivamente, os coeficientes angular e linear, e x e y são, respectivamente, a variável independente e dependente. Por meio do valor do coeficiente angular, é possível saber se a reta é crescente, decrescente ou constante. Já o coeficiente linear mostra o ponto em que a reta intercepta o eixo vertical y.

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Qual é a equação reduzida da reta?

No estudo da geometria analítica, é bastante recorrente a representação de figuras geométricas por meio de uma equação. Com a reta não é diferente, e a equação reduzida que descreve a reta é a seguinte:

m → coeficiente angular

n → coeficiente linear

y → variável dependente

x → variável independente

Vale salientar que m e n são números reais.

Exemplos:

a) y = 2x – 4
m = 2 e n = – 4

b) y = – 3x + 5
m = – 3 e n = 5

A equação da reta nos dá a coleção de pontos que formam a reta no plano cartesiano, sendo possível analisar o gráfico por meio da equação e fazer a sua representação no plano cartesiano. Para entender como encontrar a equação da reta, vamos antes conhecer o significado de cada um dos seus coeficientes e aprender a encontrá-los.

Como calcular o coeficiente angular?

O coeficiente angular está ligado à inclinação da reta e o cálculo desse coeficiente pode ser feito de duas maneiras:

• quando conhecemos a inclinação da reta em relação ao eixo x;

• quando conhecemos dois pontos pertencentes à reta.

O primeiro método é calcular a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x no sentido anti-horário.

Conhecendo o valor do ângulo α, temos que:

Exemplo:

Encontre o coeficiente angular da reta a seguir:

Como o ângulo é de 45º, então basta calcular a tangente de 45º.

m = tg 45º

m = 1

Mais recorrente que o primeiro caso, no segundo caso encontramos o coeficiente angular da reta conhecendo dois pontos A(x₁,y₁) e B (x₂, y₂). Para isso, utilizamos a fórmula a seguir:

Exemplo:

Encontre o coeficiente angular da reta utilizando os pontos A e B do gráfico a seguir:

Ao analisar a malha quadriculada, é fácil ver que as coordenadas são A(1,1) e B( – 1, 3). Usando esses dois pontos, temos que:

O coeficiente angular traz informações importantes sobre o gráfico da reta. Podemos classificar essa reta como crescente, decrescente ou constante de acordo com o valor do coeficiente angular.

Exemplos:

• y = 2x – 1 → crescente, pois m = 2.

• y = – x + 5 → decrescente, pois m = – 1.

• y = 3 → constante, pois m = 0.

Veja também: Qual é a equação geral da circunferência?

Coeficiente linear

Na equação reduzida y = mx + n, conhecemos o n como coeficiente linear. Quando x = 0, o valor de y = n; sendo assim, o coeficiente linear é o ponto em que a reta intercepta o eixo y.

Passo a passo de como calcular a equação reduzida da reta

Para calcular a equação reduzida da reta, é necessário encontrar o valor do coeficiente angular e do coeficiente linear. Para isso, precisamos conhecer dois pontos pertencentes à reta. Veja o passo a passo para encontrar a equação da reta.

• 1º passo: encontramos o valor do coeficiente angular m.

• 2º passo: substituir na equação y = mx + n o valor encontrado para m e o valor de x e y pelo valor de um dos dois pontos.

• 3º passo: resolver a equação para calcular o valor de n.

• 4º passo: agora que conhecemos o valor de m e n, bastar substituir na equação reduzida y = mx + n para encontrar a equação da reta.

Exemplo:

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A (2,1) e B (4,7).

Primeiro encontramos o coeficiente angular:

Agora que encontramos o coeficiente angular, escolhemos um ponto: por exemplo, o ponto A (2,1). Na equação y = mx + n, vamos substituir os valores do ponto A, ou seja, x = 2 e y = 1, e também o valor encontrado para m, no caso m= 3.

y = mx + n
x = 2 y = 1 e m = 3

1 = 3 · 2 + n
1 = 6 + n
1 – 6 = n
n = – 5

Como conhecemos o valor de m e de n, então a equação reduzida da reta será:

y = mx + n
m = 3 e n = – 5

y = 3x + ( – 5)
y = 3x – 5

Representação gráfica da reta

Para construir o gráfico da reta conhecendo a sua equação, encontramos dois pontos pertencentes a essa reta e traçamos a reta que passa por esses dois pontos.

Exemplo:

Encontre o gráfico da reta y = 2x – 1.

Analisando a reta, o primeiro ponto, que é o mais fácil de identificar, é A ( 0, – 1), pois sabemos que o coeficiente linear é o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Se substituirmos na equação x = 0, encontramos y = – 1.

Agora precisamos de outro ponto qualquer. Para isso, atribuímos um valor para x e encontramos o seu correspondente em y. Por exemplo, escolhendo x = 1, temos que:

y = 2x – 1

x = 1

y = 2 ·1 – 1

y = 2 – 1

y = 1

O ponto B (1, 1) pertence à reta, então marcamos os pontos A(0, –1) e B (1,1) no plano cartesiano e traçamos a reta que passa por esses dois pontos.

Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos no espaço?

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Analisando as equações, marque a alternativa correta:

I → y = – 2x + 5

II → y = – 2 + 3x

III → y = 5

As retas são, respectivamente:

A) crescente, decrescente e constante.
B) decrescente, decrescente e constante.
C) crescente, decrescente e crescente.
D) decrescente, crescente e crescente.

E) decrescente, crescente e constante.

Resolução

Alternativa E.

I → m = – 2. Como ele é negativo, a reta é decrescente.

II → m = 3. Como ele é positivo, a reta é crescente.

III → m = 0. Note que x não aparece, logo m = 0, então a reta é constante.

Questão 2 - Dada a reta que passa pelos pontos A(-1, 2) e B (2,3), o seu coeficiente angular é igual a:

Resolução

Alternativa D.
Dados os dois pontos, encontraremos o coeficiente angular: