Contagem

A análise combinatória é a matéria que desenvolve métodos para fazer a contagem com eficiência. Os problemas de contagem estão presentes no cotidiano, por exemplo, no planejamento de pratos em um cardápio, a combinação de números em um jogo de loteria, nas placas dos veículos, entre inúmeras outras situações.

A ideia é a seguinte: Imagine que você tenha 3 calças, 5 camisas e 2 sapatos e queira saber quantas são as combinações possíveis utilizando essas peças. Para isso basta efetuar a multiplicação, assim: 5 . 3 . 2 = 30 possibilidades de combinações. Esse é chamado de princípio multiplicativo.

Exemplo 1. Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos: 3, 5, 7 e 6?
Então são 4 possibilidades para as dezenas, são quatro dígitos diferentes, e para as unidades serão 3, pois não queremos repetidos, portanto:
4 . 3 = 12 números de dois algarismos distintos.

Muitos problemas de Análise combinatória podem ser resolvidos utilizando o fatorial (n!), que é a multiplicação de números consecutivos: 4!= 4.3.2.1= 24.

Exemplo 2. Calcule o valor de: 5!

5.4.3.2.1
5.4
20 . 3 . 2 . 1
120

Essa propriedade utilizada na análise combinatória é a permutação, significa mudar a ordem, pense: De quantas maneiras distintas sete pessoas podem sentar em sete poltronas?

Temos uma permutação de sete elementos, então:

7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040 maneiras.

Outras propriedades são: combinação e arranjo.

A combinação é a formação de um grupo não ordenado. Vamos pensar dentro da contagem: Em uma turma de 30 alunos, 6 serão sorteados para uma viagem. Quantas possibilidades possíveis para esse sorteio?

Lembre-se que a ordem do sorteio não importa.

Já arranjo forma grupos específicos, vejamos uma situação: Na formação de senhas para clientes, um banco disponibiliza oito dígitos entre: 0, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 8. Sabendo que cada senha é formada por três dígitos distintos, qual o número de senha?

Lembre-se, aqui é importante a ordem dos elementos:

A8,3=     8!    
           8!- 3!

8!
5!

8.7.6.5!
    5!

8 . 7 . 6

336 senhas.