Equações envolvendo o fatorial

O número fatorial está presente na maioria dos problemas de análise combinatória, portanto, é importante que saibamos manipular essa ferramenta em diversas situações. Sendo assim, estudaremos as maneiras de se manipular números fatoriais de maneira algébrica para solucionar equações.

O fatorial de um número consiste na multiplicação sucessiva desse número por todos os seus antecessores naturais. Portanto, quando se têm uma equação na qual a incógnita acompanha um fatorial, o caminho para obtermos a solução é conseguirmos simplificar este fatorial ou reescrever a equação de modo que o fatorial não interfira, ou esteja de uma maneira que nos possibilita utilizar alguma ferramenta matemática para resolução de equações, sejam elas de primeiro ou segundo grau.

Veremos exemplos que permeiam essas manipulações algébricas com o fatorial para melhor compreender esses procedimentos.

1) Resolva as equações a seguir:

Veja que temos uma fração de fatoriais, em frações sempre buscamos elementos iguais para podermos cancelar. Note que o n! pode ser desenvolvido até o fator (n-2)! fazendo com que tenhamos números iguais no numerador e no denominador.

O fatorial foi eliminado de nossa equação, ficando apenas a incógnita. Portanto, obteremos uma equação do segundo grau na incógnita n. Resolvendo essa equação iremos obter as seguintes soluções.

Lembre-se que o fatorial só está definido para números naturais, ou seja, apenas para os inteiros positivos, portanto, a solução n = – 6 é inválida para a nossa equação fatorial.

Novamente devemos buscar uma maneira de manipular os números fatoriais para que possamos simplificá-los nesta equação. Busque sempre desmembrar o maior número fatorial da expressão, em nosso exemplo é o (n+1)!

Substituindo na equação, temos:

Agora, falta apenas simplificar o fatorial (n-1)! e n!. Novamente desenvolveremos o maior número fatorial, que é o n!

Substituindo na equação:

2) Resolva a equação:

 Não existe a possibilidade de simplificarmos estes fatoriais, contudo, note que podemos construir uma equação do segundo grau na qual a incógnita é n!. Para melhor visualizarmos, façamos a seguinte substituição: chame n! por outra letra, por exemplo x.

Ou seja, x = n!

Obtemos uma nova equação:

O x está relacionado ao resultado do n! (Lembre-se n! = x), portanto, a segunda solução não satisfaz nossa equação. Devemos relacionar agora a primeira solução com o fatorial.

3) (Unitau – SP – Adaptada) Sendo n ≠ 0, assinale a alternativa que possui o(s) valor(es) que satisfaz(em) a equação abaixo:

a.  7                            b.  0 e 7                            c.  0 e 10
d.  1                            e.  0 e 2                                             

Note que no numerador temos dois termos, portando, dividiremos essa fração em duas para facilitar a simplificação dos fatoriais.

Devemos obter no numerador um número fatorial que simplifique com (n-1)!. Portanto:

Determinamos dois valores para a incógnita do fatorial, contudo a condição inicial do problema é: n ≠ 0. Portanto, a única solução que podemos utilizar é n=7.

OBS: Exemplos extraídos dos livros: (Iezzi, Gelson. Matemática – volume único. 4ed – São Paulo: Atual, 2007.

Dante, Luiz Roberto. Matemática – volume único. 1.ed. São Paulo : Ática, 2005)


Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática