Análise Combinatória

A análise combinatória é a área da Matemática que tem como função estudar a quantidade de agrupamentos que podem ser formados a partir de um conjunto de valores. O foco é o estudo dos tipos de agrupamento, que são resolvidos pelo princípio fundamental da contagem. Esses agrupamentos são a permutação, a combinação e o arranjo. Cada tipo tem aplicações específicas, e o que determina qual deve ser usado é a situação em que se encontram e o objetivo da contagem.

Esse ramo da Matemática também exige domínio de uma operação específica, que é o fatorial de um número, representado pelo símbolo de exclamação – “!”. Calcular o fatorial de um número é encontrar o produto desse número pelos seus antecessores. Vale dizer também que o cálculo dos agrupamentos é de grande importância para a área de probabilidade, o que torna a análise combinatória um pré-requisito para quem deseja dominá-la a fundo.

Qual é a função da análise combinatória?

Como o nome sugere, a análise combinatória tem como função analisar e contar todas as combinações possíveis. Os agrupamentos estão constantemente presentes no nosso dia a dia e prever essas combinações é fundamental para a tomada de decisões.

Você já se perguntou quantos resultados podem ser obtidos na loteria? Ou a quantidade de senhas possíveis para que a sua senha de banco seja segura? A combinação faz parte do nosso cotidiano, desde objetos simples, como a placa de um carro – que deve ser única por estado –, o Cadastro de Pessoa Física (CPF), que é único por cidadão, até as decisões mais complexas, como algoritmos de programação, investimentos em bolsas etc. Além disso, a análise combinatória dá suporte para outras áreas de conhecimento e para estudos mais aprofundados na própria matemática.

Leia também: Três erros mais cometidos no cálculo de probabilidade

Princípio fundamental da contagem

Base para a análise combinatória, o princípio fundamental da contagem é uma forma rápida de calcular a quantidade de combinações possíveis para determinadas decisões. Conhecido também como PFC, esse princípio diz o seguinte:

Se uma decisão d₁ pode ser tomada de n maneiras e uma decisão d₂ pode ser tomada de m maneiras, e essas decisões são independentes entre si, então o número de combinações possíveis entre essas duas decisões é calculado por (n · m).

A aplicação do princípio fundamental da contagem é bastante simples quando se entende bem a situação proposta, o que pode dificultar muito é a interpretação do problema, e não o cálculo em si.

• Exemplo

Em uma sanduicheria, os sanduíches são vendidos em combos. O cliente pode escolher um entre três tipos de carne (frango, porco ou bovina), um entre três tipos de queijo (muçarela, cheddar ou prato) e um entre dois tipos de bebidas (refrigerante e suco). Sendo assim, quantas vezes um cliente pode pedir um combo sem repeti-lo?

Resolução 1:

Sem usar o princípio fundamental da contagem, uma forma de resolução possível é realizar a listagem das escolhas e contar o número de possibilidades.

Ao todo o cliente terá que tomar três decisões (carne, queijo, bebida). Podemos listar todas as possibilidades por meio de uma tabela, lista ou diagrama. O problema é que esse processo se torna cada vez mais trabalhoso quando a quantidade de possibilidades para cada decisão aumenta.

Resolução 2:

Pelo princípio fundamental da contagem, chegamos à mesma quantidade, mas sem a necessidade de fazer a lista de todas as possibilidades. Sabemos que há três decisões a serem tomadas, então o número de possibilidades é igual ao produto das possibilidades de cada uma dessas decisões:

• 3 tipos de carne

• 3 tipos de queijo

• 2 tipos de bebidas

3.3.2 = 18 possibilidades

Fatorial de um número

A multiplicação de um número por seus antecessores é bastante recorrente em problemas que envolvem análise combinatória, e é importante compreender as operações com fatorial e também as possíveis simplificações.

Seja n um número natural maior que 2, chamamos de n! (n fatorial) a operação:

n! = n. (n-1). (n-2) . … 3. 2 .1

• Exemplos

5! = 5.4.3.2.1= 120

10! = 10 . 9. 8 . 7 .6 .5 .4. 3. 2. 1 = 3.628.800

Por definição, temos que:

0!=1

1!=1

Tipos de agrupamentos

Os agrupamentos estudados na análise combinatória são a permutação, combinação e arranjo. Cada um deles é empregado em uma situação e possui métodos específicos para ser calculado. O que deve ficar claro é quando devemos escolher o agrupamento e como realizar o cálculo.

• Permutação

Conhecemos como permutação os agrupamentos ordenados de todos os elementos de um conjunto. Permutar é trocar de posição, formando uma nova ordem.

A permutação de um conjunto com n elementos é calculada por:

P = n!

Aplicações: problemas que envolvem anagramas, filas, posições.

Lembre-se de que, para ser permutação, todos os elementos do conjunto devem ser utilizados. Além disso, a ordem dos elementos é importante.

• Exemplo

Quantos anagramas existem na palavra AMOR?
Anagrama nada mais é do que a troca de posição entre as letras da palavra, formando novas palavras, que podem fazer sentido ou não na nossa língua. Esse problema é uma permutação porque estamos calculando todos os agrupamentos possíveis ao mudar a ordem de todos os elementos do conjunto.

Resolução 1 (pelo PFC):

A palavra AMOR possui 4 letras. Pelo PFC vamos tomar 4 decisões, ou seja, escolher a primeira, segunda, terceira e quarta letra.

• 1ª letra: Para escolher a primeira letra, há quatro possibilidades (A, M, O, R).
• 2ª letra: Como escolhemos uma letra na primeira, restam três possibilidades, independentemente da escolha.
• 3ª letra: Como escolhemos uma letra na primeira e outra na segunda posição, restam duas possibilidades, independentemente das escolhas.
• 4ª letra: Como já escolhemos três letras (primeira, segunda e terceira posição), resta apenas uma possibilidade para a quarta letra.

Pelo PFC o número de anagramas da palavra amor será calculado por: 4.3.2.1. Esse produto é igual a 24 possibilidades.

Resolução 2:

Vale ressaltar que a fórmula da permutação resulta do princípio fundamental da contagem, logo ela pode ser utilizada de forma direta.

Como a palavra AMOR tem quatro letras, o total de anagramas possíveis é dado pela permutação de quatro elementos.

A permutação P₄=4! = 4.3.2.1= 24 possibilidades.

• Arranjo

Entendemos como arranjos os agrupamentos ordenados formados por parte dos elementos de um conjunto. Dado um conjunto de n elementos, queremos saber quantos agrupamentos ordenados podemos formar com p elementos, sendo p sempre menor que n. Perceba a diferença entre o arranjo e a permutação – em ambos a ordem é importante, mas na permutação agrupamos todos os elementos do conjunto, já no arranjo agrupamos apenas parte desses elementos.

• Exemplo

O conselho de uma escola organizou-se para escolher os ocupantes dos cargos administrativos mais importantes. Esses cargos seriam escolhidos a partir de votação de todos os membros do conselho. Os cargos da instituição são diretor, secretário e coordenador financeiro. Em cada voto será colocado o trio que ocupará cada um dos cargos. Sabendo que há 5 candidatos possíveis para cada uma das vagas, o número de comissões administrativas possíveis é?

Analisando o problema:

Ao analisar situações-problema que envolvem análise combinatória, é importante identificar o agrupamento. Perceba que será feita uma escolha de 3 entre 5 possibilidades. Note também que a ordem é importante. Por exemplo, o voto para Aline, Brenda e Cláudio não é o mesmo que o voto para Cláudio, Aline e Brenda – nesse caso, já que são atribuídas funções para cada um deles, por mais que a comissão seja formada pelos mesmos três candidatos, a ordem é importante, o que torna essa questão um problema de arranjo.

Resolução:

n = 5 e p = 3

Logo queremos calcular:

Veja também: Critérios para identificação de arranjo ou combinação

• Combinação

A combinação é um agrupamento que está ligado a subconjuntos de um conjunto. Entendemos como combinação de n, tomados de p em p, a contagem de todos os subconjuntos possíveis com p elementos de n. A diferença entre a combinação e o arranjo é que, na combinação, a ordem não é importante, então os conjuntos {A,B,C} e {C,A,B} são os mesmos conjuntos.

Para calcular a combinação, utilizamos a fórmula:

• Exemplo

Para a organização da colação de grau, os estudantes decidiram montar uma comissão de formatura. Sabendo que havia 30 formandos e que somente 2 alunos seriam escolhidos, a quantidade de comissões possíveis será?

Analisando o problema:

Ao analisar situações-problema que envolvem análise combinatória, é importante identificar o agrupamento. Perceba que será feita uma escolha de 2 entre 30 possibilidades. Além disso, é possível perceber que a ordem não é importante, pois se a comissão for composta por {Robson, Kleyton} ou {Kleyton, Robson}, por exemplo, não haverá diferença alguma. Como a ordem não importa e estamos escolhendo subconjuntos de um conjunto de 30 possibilidades, esse problema deve ser resolvido por combinação.

Resolução:

Análise combinatória e probabilidade

Probabilidade é uma importantíssima área da Matemática e determina a chance de um evento ocorrer. Estamos cercados por probabilidade nas lotéricas, nos jogos de dados, cartas, entre várias outras situações. Para estudarmos probabilidade a fundo, é fundamental o domínio dos conceitos da análise combinatória, pois a probabilidade de um evento acontecer é a razão entre a contagem de todos os casos favoráveis sob a contagem de todos os casos possíveis.

Assim, problemas que envolvem probabilidade podem também necessariamente envolver uma situação de análise combinatória. Percebemos, então, que a análise combinatória é um pré-requisito para o aprendizado da probabilidade, oferecendo ferramentas importantes para a contagem tanto dos casos favoráveis como dos casos possíveis.

• Exemplo

Em uma turma de Inglês, será sorteada para três estudantes uma viagem com tudo pago para a cidade de Caldas Novas. Sabendo que no curso há 12 alunos e que 5 são meninos, qual é a probabilidade de a dupla sorteada ser composta por duas meninas?

Resolução

Para calcular a probabilidade, precisamos antes contar todas os trios possíveis e também calcular todos os trios formadas por duas meninas. Como a ordem não é importante, podemos usar combinação.

1º passo – Todos os trios possíveis

• n= 12 (todos os alunos)
• p = 3 (quantidade de alunos a serem escolhidos)

2º passo – Todos os trios formados por duas meninas

• n = 12 – 5→ n = 7 (total de meninas)
• p=3 (quantidade de alunos a serem escolhidos)

3º passo - Cálculo da probabilidade

Veja também: Definições básicas de probabilidade

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Enem 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas por meio de:

a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.

b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.

c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.

d) duas combinações.
e) dois arranjos.

Resolução:

No problema são feitos dois agrupamentos. No primeiro deles, a ordem não é importante, o que caracteriza uma combinação, pois, independentemente da ordem em que os times forem sorteados, os quatro vão compor o grupo A. Agora, no segundo agrupamento, a ordem torna-se relevante, pois o primeiro sorteado jogará em casa, logo encontramos um arranjo. Assim sendo, a alternativa correta é a letra “a”.

Questão 2 - O diretor de uma escola convidou os 280 alunos do terceiro a participarem de uma brincadeira. Havia 5 objetos e 6 personagens em uma casa de 9 cômodos. Um dos personagens deveria esconder um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira era adivinhar qual objeto foi escondido, por qual personagem e em qual cômodo da casa.

Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno era sorteado e dava a sua resposta. As respostas deveriam ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não poderia ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estivesse correta, ele seria declarado vencedor e a brincadeira seria encerrada.

O diretor sabia que algum aluno acertaria a resposta porque havia:

a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

Resolução

Pelo princípio fundamental da contagem, vamos analisar quantas combinações possíveis havia para personagem, brinquedo e cômodo.

• 6 possibilidades de personagem
• 5 possibilidades de brinquedo
• 9 possibilidades de cômodo

Pelo PFC o número de agrupamentos possíveis é 6.5.9 = 270. Como há 280 estudantes, então há 10 alunos a mais do que a quantidade de combinações possíveis, logo a resposta correta é a alternativa “a”.