O logaritmo na matemática financeira

O logaritmo é um conceito que causa pavor em muitos estudantes, entretanto ele tem o objetivo de facilitar os cálculos quando temos incógnitas nos expoentes ou expoentes de um valor elevado. A aplicação do logaritmo é feita em diversas áreas. No ensino básico, as aplicações mais evidentes são feitas na Matemática Financeira, Química, Geografia, como podemos ver no artigo Aplicação dos Logaritmos .

Na matemática financeira, o logaritmo tem sua aplicação para o cálculo do tempo que um capital deve ser aplicado, a juros compostos, para que ele gere um determinado montante. Veremos então os conceitos de logaritmo que devem ser estudados para que o logaritmo não seja um empecilho na resolução de problemas como esses.

Nos enunciados de questões de concursos e vestibulares (em que não é possível utilizar a calculadora), normalmente são dados o logaritmo dos números que serão utilizados na resolução do problema, portanto você deverá manipular algebricamente as expressões para obter os logaritmos informados. Vejamos um exemplo.

(UERJ-2003) Jorge quer vender seu carro por R$ 40.000,00. Pedro, para comprá-lo, dispõe de R$ 5.000,00, e aplica esse valor em um investimento que rende juros compostos a uma taxa de 28% a cada dois anos. Considere que a desvalorização do carro de Jorge seja de 19% a cada dois anos, calculada sobre o valor do carro no período de dois anos imediatamente anterior.Calcule o tempo mínimo em que Pedro terá dinheiro suficiente para comprar o carro de Jorge. Utilize, em seus cálculos, log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.

Devemos calcular o montante utilizando a valorização do dinheiro aplicado e a desvalorização do carro. Devemos descobrir quanto tempo levará para que os montantes sejam iguais; para isso, façamos então o cálculo de cada montante.

Dinheiro aplicado

Desvalorização do carro

Note que na expressão do montante referente à desvalorização do carro o sinal é negativo, pois o carro irá desvalorizar 19% a cada dois anos.

Como queremos encontrar o tempo em que os montantes serão iguais, devemos igualar os montantes.

Com isso, teremos:

Lembre-se da relação que o enunciado lhe deu, foi informado apenas o log2 e o log3, portanto devemos organizar os logaritmandos para que sejam escritos como potências dos números 2 e 3.

Sendo assim, voltemos à expressão a ser calculada.

Aplicando as propriedades de logaritmo que diz que:

Temos que:

Portanto, apenas depois de 10 anos Pedro teria dinheiro para comprar o carro de Jorge.

Note que o único passo “complicado” foi o que precisava escrever os números como potências de 2 e 3. Mas a partir da reflexão sobre os dados que o problema oferece, saberemos que quando nos depararmos com situações como esta, o procedimento será parecido. O restante da resolução foi solucionado através de operações e propriedades dos logaritmos.

Observe que cálculos iguais a esse são importantes e podemos aplicá-los às situações de nossa vida. Podemos, por exemplo, fazer uma estimativa de quanto tempo levará para que o dinheiro que aplicamos na poupança chegue a um determinado valor.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática