Logaritmo

O logaritmo é uma operação matemática diretamente relacionada com as equações exponenciais. Nele buscamos encontrar o expoente que faz com a base seja igual ao que chamamos de logaritmando.

Na prática estamos resolvendo equações exponencias, entretanto, com essa operação surgem propriedades importantes que auxiliam nas resoluções. Para resolver um logaritmo, é essencial o domínio da operação e das propriedades existentes para ele, as quais são muito parecidas com as propriedades das potências. Para que essa operação seja bem definida, existem algumas restrições para o valor da base e do logaritmando chamadas de condição de existência.

Leia também: Qual a aplicação dos logaritmos?

Definição de logaritmo

Chamamos de logaritmo de a na base b, representado por log_ab, o valor x, tal que a elevado a x seja igual a b. Por exemplo, ao escrevermo log₂8 (lê-se logaritmo de 8 na base 2), estamos procurando o número a que devemos elevar o 2 para que a resposta seja igual a 8.

Log₂8 = 3, pois 2³ = 8.

De modo geral, a operação logaritmo é definida por:

x → logaritmo

b → base

a → logaritmando

Observação: Quando não escrevemos a base, ela é sempre igual a 10, ou seja, Log a (lê-se logaritmo de a na base decimal).

• Exemplos

Calcule o valor dos logaritmos a seguir.

a) log₃81 = 4, pois 3⁴ = 81.

b) log100 = 2, pois 10² = 100 (como não havia valor para a base, ela é igual a 10).

c) log₂1024 = 10, pois 2¹⁰ = 1024.

Casos particulares de logaritmo

Como consequência da definição, podemos analisar alguns casos particulares de logaritmo.

• log_b1 = 0, pois a⁰ = 1.

Como todo número elevado a 0 é igual a 1, então o logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0.

Exemplo numérico: log₈1 = 0, pois 8⁰ = 1.

• log_bb = 1, pois b¹ = b.

Como todo número elevado a 1 é ele mesmo, então logaritmo de base e logaritmando iguais são sempre iguais a 1.

Exemplo numérico: log₅5 = 1, pois 5¹ = 5.

• Se log_ba = log_bc, então a = c, pois b^x = a e também b^x = c.

Dois logaritmos de mesma base são iguais se, e somente se, o logaritmando for igual.

Exemplo numérico: Sabendo que log_b8 = log_ba, então a = 8.

• log_bbⁿ = n, pois, pela definição, bⁿ = bⁿ.

Esse caso é uma aplicação da definição, pois a base levada ao logaritmo é igual ao logaritmando.

Exemplo numérico: log₂2³ = 3, pois 2³ = 2³.

Condição de existência

Para definirmos bem o logaritmo, há algumas restrições sobre os valores da base e do logaritmando. A base de um logaritmo sempre deve ser um número positivo e diferente de 1, e o logaritmando deve ser sempre um número positivo. De forma algébrica, temos que:

log_ba

Em que a e b são números reais, tal que: a > 0 e b > 0 e b ≠ 1.

Veja também: Conjuntos numéricos – agrupamentos de números com características semelhantes

Como resolver um logaritmo

Existem aqueles logaritmos possíveis de resolver-se de forma direta, apenas com a definição, como fizemos no exemplo anterior. No entanto, resolver logaritmos também exige domínio de equações exponencias, além disso, quando for necessário, deve-se realizar a consulta da tabela de logaritmos decimais para saber o valor de logaritmos que não conseguimos calcular com base em uma equação exponencial.

• Exemplo 1

Calcule log₃243.

1º passo: aplicar a definição para transformar o logaritmo em uma equação exponencial.

Seja log₃243 = x, então 3^x = 243.

2º passo: igualar as bases quando possível.

3^x = 3⁵ → x = 5

• Exemplo 2

Calcule o logaritmo a seguir.

Seguindo os dois passos do exemplo anterior, vamos aplicar a definição e tentar igualar as bases.

Acesse também: Equações logarítmicas – equações em que a incógnita está no logaritmando

Propriedades dos logaritmos

Existem casos em que a simples aplicação da definição não é o suficiente para resolvê-los, então, para isso, foram desenvolvidas algumas propriedades que facilitam essa resolução. O domínio dessas ferramentas é essencial para a resolução dos problemas sobre esse tema e para utilizar-se de logaritmos a fim de solucionar equações exponenciais de bases diferentes.

Considere X e Y dois números reais positivos e diferentes de 1 para todas as propriedades dos logaritmos a seguir.

• 1ª propriedade: logaritmo de um produto

O logaritmo de um produto pode ser separado na adição do logaritmo de mesma base de cada um dos fatores.

• 2ª propriedade: logaritmo do quociente

Muito parecida com a anterior, o logaritmo de um quociente pode ser separado com a subtração dos logaritmos de mesma base do numerador pelo denominador, nessa ordem.

• 3ª propriedade: logaritmo de uma potência

Sempre que houver um expoente no logaritmando, o logaritmo de uma potência será igual à multiplicação desse expoente pelo logaritmo.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Sendo log_a2 = 8 e log_a5 = 23, então o log_a 200 é igual a?

a) 70

b) 31

c) 23

d) 15

e) 64

Resolução

Alternativa A.

Para resolver essa questão, é necessário fatorar o 200.

log_a200 = log_a (2³·5²)

Utilizando-se da primeira propriedade, o produto pode ser separado na soma de dois logaritmos de mesma base.

log_a200 = log_a2³ + log_a5²

Agora, aplicando a terceira propriedade, vamos “derrubar” os expoentes:

log_a200 = 3·log_a2 + 2·log_a5

Substituindo os valores de log_a2 = 8 e log_a5 = 23, temos que:

log_a200 = 3 · 8 + 2 · 23

log_a200 = 24 + 46

log_a200 = 70

Questão 2 - (Enem) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3000 ℃ e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min. Use 0,477 como aproximação para log3 e 1,041 como aproximação para log11. O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 ℃ é mais próximo de:

a) 22

b) 55

c) 100

d) 200

e) 400

Resolução

Alternativa D.

Como a liga diminui 1% a cada intervalo de tempo, temos que 100% - 1% = 99% do valor anterior. Já que ela diminui a temperatura a cada intervalo, então usamos a representação na forma decimal por 0,99^t, em que T(x) é a temperatura e x é o intervalo de tempo.

Seja T(X) a função, como a liga diminui 1% a cada intervalo de tempo, essa situação pode ser descrita assim:

T(x) = 3000 · 0,99^t

Como o objetivo é saber depois de quanto tempo a liga atingirá a temperatura de 30 ºC, então T(x) = 30.

Ao encontrarmos uma equação exponencial que não é possível resolver igualando as bases, é necessário aplicarmos o logaritmo dos dois lados. Lembrando que, quando a base não aparece, trata-se de um logaritmo decimal.

No entanto, log0,01 = -2, pois 10^-2 = 0,01. Quando possível, substituiremos o valor de log3 = 0,477 e log11 = 1,041. Também, quando necessário, usaremos as propriedades vistas anteriormente.

Então temos que:

Muito cuidado, questões como essa sempre têm “pegas” com o objetivo de verificar a atenção do candidato. Portanto, não terminamos ainda e 400 não é a resposta final, pois cada intervalo de tempo tem 30 minutos e a questão pediu o tempo em horas. Se há 400 intervalos, cada um de 30 minutos, então são 200 horas.