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Polígonos semelhantes

Polígonos semelhantes são aqueles que possuem o mesmo formato, mas tamanhos diferentes.

Polígonos são figuras geométricas formadas puramente por segmentos de reta ligados por suas pontas. Os polígonos são fechados e nenhum segmento de reta cruza outro. Dessa forma, podemos observar que a figura A (a seguir) é um polígono e a figura B não é.

Polígonos congruentes

Comparando esses dois polígonos, podemos chegar a uma das três conclusões seguintes: esses polígonos são congruentes, esses polígonos são semelhantes ou esses polígonos são diferentes. Para afirmar que dois polígonos são congruentes, é necessário observar seus lados e ângulos.

Considere dois polígonos, A e B, que possuem o mesmo número de lados. Se os ângulos do polígono A forem congruentes aos respectivos ângulos do polígono B e, além disso, os lados do polígono A forem proporcionais aos lados correspondentes do polígono B, então esses dois polígonos serão congruentes.

No exemplo acima é possível observar que os polígonos A e B cumprem as condições para serem considerados congruentes. Observe as igualdades entre lados congruentes: AB = LI, BC = IH, CD = HG, DE = FG e EA = JF. Observe também que os ângulos respectivos são congruentes: A = J, B = I, C = H, D = G e E = F.

Polígonos semelhantes

Dois polígonos A e B são semelhantes se os seus ângulos respectivos forem congruentes e se os seus lados correspondentes forem iguais.

Observe que os polígonos A e B, na imagem, são parecidos e possuem ângulos iguais. Todavia, as medidas de seus lados são diferentes. Como os ângulos são iguais, para que eles sejam considerados semelhantes, falta apenas garantir a proporcionalidade entre lados correspondentes. Para isso, basta dividir as medidas dos lados correspondentes. Se os resultados entre todas as divisões forem iguais, então os lados serão proporcionais. Observe:

FG = GH = HI = IJ = JF = 2
DE    CD   CB   AB   EA     

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Observe que as frações são compostas justamente por lados correspondentes. Nesse caso, o lado FG é correspondente ao lado DE, o lado GH é correspondente ao lado CD e assim por diante.

Propriedades dos polígonos semelhantes

- Primeira propriedade: Polígonos semelhantes possuem, além dos lados, proporcionalidade entre seus perímetros e diagonais.

Isso significa que a divisão entre as medidas das diagonais correspondentes e entre os perímetros dos polígonos também terá o mesmo resultado da divisão de seus lados correspondentes.

Observação: Essas divisões devem ser feitas seguindo a mesma ordem estabelecida para a divisão entre as medidas dos lados. Se as medidas dos lados do polígono A, por exemplo, foram divididas pelas medidas dos lados do polígono B, então o perímetro do polígono A deverá ser dividido pelo perímetro do polígono B.

Os polígonos da imagem acima são heptágonos regulares. Isso significa que ambos possuem sete lados, os ângulos de ambos são todos iguais e, além disso, o polígono A possui todos os lados iguais a 3 e o polígono B possui todos os lados iguais a 2. Esses polígonos são semelhantes porque a razão entre os lados correspondentes de A por B é sempre 3/2 e os ângulos são congruentes.

A questão é que o perímetro do polígono A é 21, e o perímetro do polígono B é 14. A razão entre 21 e 14 é justamente 3/2, assim como acontece com os lados e justamente como a propriedade garante.

- Segunda propriedade: Polígonos congruentes também são semelhantes.

Isso ocorre porque, se os polígonos são congruentes, então possuem todos os lados correspondentes e ângulos respectivos congruentes. Como os lados são congruentes, então, independentemente da medida deles, o resultado da divisão entre os lados de um polígono pelos lados do outro sempre será 1. Dessa forma, os lados correspondentes, além de congruentes, também são proporcionais. Portanto, os polígonos são semelhantes.

Polígonos com mesmo formato, mas de tamanhos diferentes
Polígonos com mesmo formato, mas de tamanhos diferentes
Publicado por: Luiz Paulo Moreira Silva
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Lista de Exercícios

Questão 1

A respeito da definição de polígonos semelhantes e congruentes, assinale a alternativa verdadeira:

a) Dois polígonos que possuem lados com medidas iguais são semelhantes.

b) Dois polígonos que possuem ângulos congruentes são semelhantes.

c) Um polígono é convexo e o outro não. Esses dois polígonos são semelhantes.

d) Dois polígonos que possuem lados correspondentes proporcionais e ângulos correspondentes congruentes são semelhantes.

e) Apenas triângulos podem ser considerados semelhantes.

Questão 2

Dois polígonos ABCD e EFGH são semelhantes. Supondo que os ângulos internos do polígono ABCD sejam todos iguais, qual a medida do ângulo H do polígono EFGH?

a) 30°

b) 45°

c) 60°

d) 90°

e) 120

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