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Geometria

A Geometria, área de estudo da Matemática, é dividida em: Geometria Plana, Espacial e Analítica.
A Geometria realiza cálculos relacionados com a medida de estruturas planas e tridimensionais
A Geometria realiza cálculos relacionados com a medida de estruturas planas e tridimensionais

Geometria é uma palavra de origem grega que significa: “geo”, terra, e “metria”, que vem da palavra “métron” e significa medir. Sendo assim, a Geometria é uma ciência que se dedica a estudar as medidas das formas de figuras planas ou espaciais, bem como sobre a posição relativa das figuras no espaço e suas propriedades.

Os matemáticos que realizam os estudos relacionados com a Geometria são chamados de geômetras. Ao longo da história da Geometria, que se constituiu como ciência organizada na Grécia Antiga, destacaram-se geômetras como Arquimedes, Descartes, Tales de Mileto, Euclides (considerado o pai da Geometria), entre outros. A esses estudiosos, que formularam axiomas, postulados e teorias, podemos atribuir descobertas e criações como:

Descobertas e criações de grandes geômetras:
 

  • A área sob o arco de uma parábola (Arquimedes);
  • A aproximação do valor numérico do número pi (Arquimedes);
  • O volume de superfícies de revolução (Arquimedes);
  • Sistema de coordenadas (Descartes);
  • A união da geometria com a álgebra, o que resultou na geometria analítica (Descartes);
  • O diâmetro que divide o círculo em duas partes iguais (Tales de Mileto);
  • Os ângulos opostos pelo vértice são iguais (Tales de Mileto);
  • Geometria euclidiana (Euclides).

Como a Geometria é uma área de estudos muito extensa, podemos dividi-la nas seguintes subáreas:
 

Subáreas da Geometria:
 

  • Geometria analítica: relaciona a álgebra e a análise matemática com a geometria;

  • Geometria plana: também chamada de Geometria Euclidiana, estuda o plano e o espaço baseando-se nos postulados de Euclides;

  • Geometria Espacial: realiza o estudo de figuras tridimensionais. Nessa área de estudo, é possível calcular o volume de um sólido geométrico.

Conteúdo de Geometria visto no Ensino Fundamental e Médio:
 

→ Ponto

→ Reta

→ Plano

→ Ângulos

→ Operações com ângulos

→ Posições relativas entre retas

→ Posições relativas entre reta e plano

→ Posições relativas entre plano e plano

→ Triângulos

→ Teorema de Pitágoras

→ Lei dos senos

→ Lei dos cossenos

→ Relações métricas do triângulo

→ Teorema de Tales

→ Quadriláteros

→ Polígonos

→ Poliedros

→ Prismas

→ Pirâmides

→ Circunferência

→ Círculo

→ Cone

→ Cilindro

→ Corpos esféricos

→ Perímetro

→ Áreas de regiões planas

→ Volume

→ Distância

→ Plano cartesiano

Publicado por Naysa Crystine Nogueira Oliveira
Assista às nossas videoaulas

Artigos de Geometria

Ângulos dados em graus que podem ser representados por seus submúltiplos
Adição de submúltiplos do grau
Aprenda a realizar a adição dos submúltiplos do grau, além de obter informações básicas sobre eles.
Ângulos notáveis e alguns instrumentos que os representam
Ângulos
Clique para aprender o que são ângulos, como medi-los e algumas características dos ângulos notáveis.
Ângulos alternos internos ocupam posições alternadas no interior de retas paralelas
Ângulos alternos internos e externos
Clique e descubra o que são ângulos alternos internos e alternos externos, bem como as propriedades que eles possuem.
Ângulos formados por uma reta transversal a duas retas paralelas
Ângulos colaterais internos e externos
Clique para aprender o que são ângulos colaterais internos e externos e também suas propriedades!
Transferidor e alguns exemplos de ângulos
Ângulos complementares e suplementares
Aprenda o que são ângulos complementares e suplementares e veja alguns exemplos e definições importantes que envolvem esses conceitos.
Ângulos no círculo
Clique aqui e conheça as características e propriedades dos ângulos no círculo!
Ângulos opostos pelo vértice são congruentes, isto é, possuem medidas iguais
Ângulos opostos pelo vértice
Clique e aprenda o que são ângulos opostos pelo vértice e ângulos adjacentes, bem como as propriedades mais importantes que os envolvem.
Aplicação da relação entre volumes
Aplicando a relação entre volumes, um estudo para determinar relações entre as medidas que determinam esses volumes.
Aplicações do Cálculo da Área de uma Circunferência
Observe algumas aplicaões do cálculo da área de figuras circulares, ou seja, que envolvem uma circunferência.
Aplicações do Teorema de Tales
Clique aqui e aprenda quando e como utilizar o Teorema de Tales!
Figura geométrica formada pela diferença entre as áreas de outras figuras
Área da diferença entre duas figuras
Clique para descobrir como calcular a área da diferença entre duas figuras, isto é, como decompor uma figura para facilitar os cálculos de sua área.
Esquema que ilustra a superfície de uma esfera
Área da esfera
Aprenda a calcular a área de superfícies esféricas e de fusos esféricos por meio de fórmulas ou regras de três.
Os polígonos regulares, como são hexágonos, possuem a mesma razão de semelhança.
Área de figuras semelhantes
Clique para aprender a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes e saiba também a diferença entre ela e a razão de semelhança entre figuras.
Essas superfícies possuem formato de paralelogramo e estão em perspectiva
Área do paralelogramo
Aprenda a calcular a área de cada tipo de paralelogramo e obtenha algumas propriedades básicas dessas figuras geométricas.
Exemplo de eneágono regular com destaque para um triângulo, que pode ser usado para calcular a área dessa figura
Área do polígono regular
Clique e aprenda a calcular a área de um polígono regular por meio de uma fórmula que utiliza as medidas de seu lado e seu apótema.
Axiomas e Postulados
Ponto, Reta, Plano, Axiomas, Postulados, Dois pontos formam uma reta, Em um ponto passam infinitas retas, Cadeira tripé, Relação de pertinência, Relação de inclusão, Semi-reta
Cálculo Aproximado de Áreas
Áreas de formato irregular.
Figuras que podem ser decompostas para facilitar o cálculo de sua área.
Cálculo da área a partir da decomposição de figuras geométricas
Clique e aprenda a calcular a área de determinadas figuras geométricas pelo processo de decomposição.
Tubos cilíndricos usados na construção civil
Cilindros
Clique e aprenda o que são cilindros, quais os seus elementos e sua classificação e veja as fórmulas para calcular a área e o volume desses sólidos.
Exemplos de círculos coloridos
Círculo e circunferência
Entenda a diferença entre círculo e circunferência, além de algumas propriedades e definições básicas que envolvem essas figuras geométricas!
Ferramentas usadas para medir e construir ângulos no círculo trigonométrico
Círculo trigonométrico
Clique para aprender o que é um círculo trigonométrico, como construí-lo e o modo como o seno e o cosseno são marcados sobre ele.
Classificação de triângulos
Classificação de triângulos: critérios e nomes
Comprimento da Circunferência
Determinando o comprimento da circunferência de acordo com a medida do raio e do valor de π.
Comprimento da circunferência é calculado pela fórmula C = 2πr.
Comprimento da circunferência
Entenda o que é o comprimento da circunferência. Aprenda a calculá-lo por meio de sua fórmula. Resolva os exercícios propostos sobre o tema.
Conceitos básicos de circunferência
Ângulo, Ângulo central, Medida de um ângulo central, Circunferência, O que é circunferência, Arco de circunferência, Centro da circunferência, Representação do arco de uma circunferência.
Condição de existência de um triângulo
Condição de existência de um triângulo, como identificar a existência de um triângulo, triângulo, aplicação da condição de existência de um triângulo, como construir um triângulo.
Cone
Cone
Entenda o que é um cone, conheça a sua planificação e suas classificações, além de aprender a calcular a área total e o volume desse sólido geométrico.
O triângulo ABC é congruente ao triângulo A1B1C1.
Congruência de triângulos
Entenda o que são os triângulos congruentes. Identifique cada um dos casos de congruência do triângulo. Use a congruência para encontrar valores desconhecidos.
Conhecendo os Elementos de um Polígono
Clique aqui e aprenda a identificar quais são os elementos de um polígono!
Esfera
Corpo Esférico
Clique aqui e aprenda a calcular a área e o volume de um corpo esférico.
Circunferências de papel
Determinando o centro de uma circunferência
Clique e fique por dentro de uma técnica rápida e fácil para determinar o centro de uma circunferência.
Algumas das 275 diagonais de um polígono de 25 lados
Diagonais de um polígono
Clique para conhecer um modo de obter o número de diagonais de um polígono em que não é necessário contá-las uma a uma.
A diagonal de um quadrado é um segmento que liga vértices
Diagonal do quadrado
Clique para aprender duas formas de calcular a diagonal de um quadrado e veja alguns exemplos desses cálculos.
Diferenças entre figuras planas e espaciais
Clique para aprender as maiores diferenças entre figuras planas e espaciais, como a quantidade de dimensões que as define.
Imagem bidimensional na tela do computador e maquete tridimensional sobre o teclado
Dimensões do espaço
Clique e aprenda o que são as dimensões do espaço e como os objetos, figuras e sólidos geométricos comportam-se diante delas.
A esfera possui alguns elementos característicos
Elementos de uma esfera
Clique e veja quais são os elementos da esfera, como essas figuras geométricas são definidas e alguns cálculos que os envolvem.
O compasso é um objeto usado para desenhar círculos e circunferências
Elementos do círculo e da circunferência
Clique para aprender os elementos do círculo e da circunferência e obtenha um exemplo de cada uma dessas partes.
Polígonos inscritos e circunscritos na circunferência
Elementos do polígono regular inscrito
Clique e aprenda o que são os elementos do polígono regular inscrito em uma circunferência e conheça algumas propriedades básicas deles.
Heron de Alexandria
Fórmula de Heron
Clique aqui e aprenda o que é e quando utilizar a fórmula de Heron.
Cada tipo de sólido possui uma fórmula para o cálculo de seu volume
Fórmulas para Cálculo de Volume de sólidos
Aprenda fórmulas para calcular o volume de sólidos, tendo em vista sua forma e dimensões.
Geometria plana
Entenda os principais conceitos da geometria plana. Conheça as principais figuras geométricas, e aprenda a calcular a área e o perímetro de cada uma delas.
A velocidade é a razão entre as grandezas espaço percorrido e tempo gasto no percurso
Grandezas diretamente proporcionais
Clique e aprenda o que são grandezas diretamente proporcionais e descubra como calculá-las usando a regra de três.
Grandezas inversamente proporcionais: o aumento em uma ocasiona uma redução na outra
Grandezas inversamente proporcionais
Clique e aprenda o que são grandezas inversamente proporcionais e entenda como elas devem ser usadas nos cálculos da regra de três.
Figura formada apenas por losangos
Losangos
Clique para aprender o que é losango e uma série de características e propriedades herdadas de outras figuras geométricas da mesma família.
Sólidos geométricos espaciais sobre um plano
Noções primitivas de Geometria: ponto, reta, plano e espaço
Clique para saber mais sobre as noções primitivas de Geometria (reta, ponto, plano e espaço), além de conhecer suas propriedades.
A superfície da mesa representa parte de um plano
O que é plano?
Clique e aprenda o que é um plano, os postulados que garantem sua existência e como construí-los.
O Teorema de Pitágoras no Cotidiano
Clique aqui e entenda como o Teorema de Pitágoras está presente em nosso cotidiano.
Figura formada por paralelogramos em perspectiva
Paralelogramos
Clique e descubra o que são paralelogramos e como eles são classificados em quadrados, losangos e retângulos.
O perímetro é a medida do contorno de figuras geométricas planas
Perímetro
Entenda o que é perímetro e descubra como obter essa medida do contorno de figuras geométricas planas. Veja também algumas variações no cálculo do perímetro de acordo com propriedades específicas das figuras observadas e aprenda a calcular essa medida em figuras que apresentam parte de um polígono e de um círculo.
O hexágono regular é um exemplo de polígono
Polígonos
Aprenda o que são polígonos, descubra algumas das propriedades dessas figuras e entenda a diferença entre polígonos convexos e regulares.
Polígono formado por outros polígonos com número de lados em progressão aritmética
Polígonos convexos e regulares
Compreenda a definição de polígonos, bem como todos os pré-requisitos para que eles sejam considerados convexos e regulares.
Polígonos Inscritos e Circunscritos
Relação entre Polígonos e Circunferências.
Polígonos com mesmo formato, mas de tamanhos diferentes
Polígonos semelhantes
Clique para saber mais sobre os polígonos semelhantes e algumas propriedades decorrentes dessa semelhança.
Identificando os pontos notáveis em um triângulo
Pontos Notáveis do Triângulo
Você sabe como identificar os pontos notáveis do triângulo? Aprenda a encontrar todos eles.
Planos paralelos e perpendiculares formando um cubo
Posição relativa entre planos
Aprenda as posições relativas entre dois planos no espaço e o resultado da interação entre eles: com pontos ou não na intersecção.
Reta tangente, externa ou secante são as posições entre reta e circunferência
Posição relativa entre uma reta e uma circunferência
Clique para aprender a posição relativa entre uma reta e uma circunferência e conheça também algumas de suas propriedades.
Todas as posições relativas entre reta e plano presentes na mesma ilustração
Posições relativas entre reta e plano
Clique para aprender o que são retas contidas no plano, secantes ou paralelas a ele: as chamadas posições relativas entre reta e plano.
Relação entre: ponto, reta e plano.
Princípios da geometria
Geometria Plana, Geometria espacial, Ponto, Letras maiúsculas, Reta, Reta formada por dois pontos, Letras minúsculas, Representação da reta, Representação do ponto, Representação do plano, Relação de pertinência, Relação de inclusão.
Projeções ortogonais: problemas que exigem o uso do raciocínio lógico
Projeções ortogonais
Clique para conferir o que são projeções ortogonais sobre o plano, os casos mais básicos dessas projeções e uma questão do Enem sobre o assunto.
Polígono regular de seis lados inscrito em uma circunferência
Propriedades do polígono regular inscrito
Aprenda algumas propriedades do polígono regular inscrito na circunferência e saiba como relacionar medidas e proporções dessa figura.
O triângulo equilátero possui três lados congruentes
Propriedades do triângulo equilátero
Clique para aprender as propriedades dos triângulos equiláteros e para obter exemplos do uso dessas propriedades em problemas de Geometria.
Triângulos isósceles: dois lados com a mesma medida
Propriedades do triângulo isósceles
Veja propriedades que podem ser usadas para diferenciar triângulos isósceles de triângulos escalenos.
Cubo: sólido geométrico formado por faces quadradas
Quadrados
Clique e descubra as características dos quadrados e algumas de suas propriedades que são herdadas de outras figuras geométricas.
Retângulo, paralelogramo e trapézio
Quadriláteros
Aprenda o que são quadriláteros e as características e propriedades que os definem como paralelogramos, trapézios ou nenhum dos dois.
Unidade de medida usada para arcos de circunferências: radiano
Radiano
Clique e descubra o que é radiano, nome dado à medida do arco de uma circunferência de raio r quando esse arco também mede r. Medidas em radianos relacionam-se a ângulos centrais de uma circunferência, que, por sua vez, podem ser relacionados a um número real por meio de razões trigonométricas. Clique e confira!
A relação entre segmentos secantes na circunferência e triângulos formados por eles é de proporcionalidade
Relação entre segmentos secantes na circunferência
Clique e aprenda qual é a relação existente entre dois segmentos secantes na circunferência e obtenha exemplos dos cálculos desse conteúdo.
Relação entre Volumes
Razão entre medidas de volume.
A relação entre as cordas de uma circunferência é uma propriedade das relações métricas
Relações métricas na circunferência: relação entre cordas
Clique e aprenda sobre relações métricas na circunferência, propriedades que podem expressar a relação e a proporcionalidade entre cordas.
As relações métricas podem ser usadas para calcular medidas do hexágono regular inscrito em uma circunferência
Relações métricas no hexágono regular inscrito
Clique e aprenda o que são relações métricas no hexágono regular inscrito e descubra como usá-las para calcular as medidas do lado e do apótema.
As relações métricas possibilitam calcular lado e apótema do quadrado inscrito usando o raio da circunferência
Relações métricas no quadrado inscrito
Aprenda o que são relações métricas no quadrado inscrito e descubra como calcular o lado e o apótema dessa figura usando o raio da circunferência.
A régua é um exemplo de reta numérica usada para medir pequenas distâncias
Reta numérica dos números reais
Clique para aprender o que é reta numérica, como elas podem ser construídas e quais propriedades elas possuem.
Imagem composta por diversos retângulos de tamanhos variados
Retângulos
Descubra o que é retângulo e algumas características básicas que ele possui, decorrentes de sua definição e da família de figuras a que eles pertencem.
Segmento de reta que começa em A e vai até B
Retas
Confira as principais ideias que envolvem retas e algumas propriedades básicas dessa figura geométrica!
Retas paralelas cortadas por uma transversal
Retas paralelas cortadas por uma transversal
Conheça as retas paralelas cortadas por uma transversal e aprenda a calcular o valor dos ângulos nessa situação. Resolva também os exercícios propostos sobre o tema.
Segmentos, dois a dois, cujas razões são iguais
Segmentos proporcionais
Confira casos em que as duas razões entre quatro segmentos de reta são iguais e, por isso, os segmentos são proporcionais!
Semelhança de triângulos
Entenda o que é semelhança entre triângulos e o teorema fundamental da semelhança de triângulos. Veja também os casos de semelhança de triângulos e como aplicá-los.
Ângulos externos de um hexágono regular
Soma dos ângulos externos de um polígono
Clique para aprender qual é a soma dos ângulos externos de um polígono convexo e veja como é possível obter esse resultado.
Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Regular
Polígonos: ângulos internos, ângulos externos, soma de ângulos.
A soma dos ângulos internos de um triângulo é fixa
Soma dos ângulos internos de um triângulo
Clique para entender a soma dos ângulos internos de um triângulo e para obter exemplos dessa soma e a demonstração desse resultado.
Transferidor: objeto usado para obter medidas de ângulos
Subtração de submúltiplos do grau
Clique e aprenda a realizar a subtração de submúltiplos do grau – números utilizados para expressar medidas menores que 1º.
Teorema da Bissetriz Interna
Relações métricas num triângulo qualquer
Teorema de Pitágoras
Conheça o teorema de Pitágoras e aprenda a usá-lo para encontrar lados desconhecidos de um triângulo retângulo. Confira ainda exercícios sobre o assunto!
Pitágoras: Filósofo e Matemático
Teorema de Pitágoras: Altura e Área do Triângulo Equilátero
Importantes aplicações do Teorema de Pitágoras.
Teorema de Ptolomeu
Propriedades de um quadrilátero inscrito numa circunferência
Teorema de Tales
Veja aqui o que o teorema de Tales afirma e entenda como aplicá-lo em um triângulo. Veja também exercícios que ilustram a sua aplicação.
Teorema que avalia os resultados de uma reta paralela a um lado de um triângulo
Teorema fundamental da semelhança
Clique para aprender sobre um caso interessante de semelhança de triângulos decorrente do teorema fundamental da semelhança.
Tetraedro regular
Elementos, área total e volume do tetraedro regular
Trapézios são quadriláteros e, portanto, polígonos
Trapézios
Clique e aprenda a definição de trapézios, suas características específicas e como calcular sua área e perímetro.
Triângulo retângulo
Entenda o que é triângulo retângulo, calcule sua área e seu perímetro, e saiba aplicar o teorema de Pitágoras! Veja relações trigonométricas no triângulo retângulo.
Exemplos de triângulos equiláteros formados por outros três triângulos congruentes obtusângulos
Triângulos
Clique para aprender o que são os triângulos e conheça quais os elementos dessa figura e as suas principais propriedades.
O tronco de um cone é um sólido geométrico formado pela parte inferior de um cone após ser seccionado de forma paralela à base.
Tronco de cone
Entenda o que é tronco de um cone e saiba como calcular seu volume e sua área total. Conheça os elementos desse sólido geométrico e resolva exercícios sobre o tema.
Unidades de Medida ao Longo da História
Unidades de medida de comprimento.
Unidades de Medida de Área
Confira quais são as unidades de medida de área e como convertê-las.
Unidades de Medida de Volume
Conheça as unidades usuais de volume.
Demonstração do primeiro método usado para encontrar uma aproximação de pi
Valor de pi
Clique para aprender como o valor de pi pode ser obtido por meio da circunferência ou pelo método usado por Arquimedes. Essa constante representada pela letra grega π (pi) é considerada uma das mais importantes da Matemática.
Volume da esfera
A esfera é um dos corpos redondos derivados da revolução de um semicírculo. Conheça as regiões da esfera e saiba como calcular seu volume.
A pirâmide é um sólido geométrico que pode apresentar diferentes formas de base.
Volume da pirâmide
Aprenda a calcular o volume da pirâmide. Conheça a fórmula para calcular o volume da pirâmide. Calcule o volume de pirâmides com diferentes bases.
Volume de um Sólido Geométrico
Volume: definição e exemplos de sólidos geométricos
Volume do cilindro
Veja aqui o que é um cilindro e entenda seus elementos. Saiba calcular sua área e volume.
Volume do Cone
Clique aqui e aprenda como determinar o volume do cone através de uma expressão numérica.
Volume do Cubo
Capacidade do cubo em função da medida da aresta.
Volume do Paralelepípedo
O volume do paralelepípedo corresponde à multiplicação do comprimento pela largura e pela altura. Confira!
Volume do Tronco da Pirâmide
Determinando os elementos e calculando o volume do tronco da pirâmide.
Volume do tronco de cone.
Elementos do tronco de cone e o cálculo do seu volume
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Química
Propriedades da Matéria no Enem: como esse tema é cobrado?
A Química é a parte da ciência que estuda a matéria, suas propriedades e transformações. As propriedades da matéria, por serem um assunto central no estudo da Química, são bastante recorrentes nas provas do Enem.

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