Propriedades do conjugado e do módulo de números complexos
Utilizando a fórmula de Bhaskara, podemos verificar que algumas equações possuem o Δ negativo e, por essa razão, dizemos que não existe solução real para elas. Isso significa que, dentro do conjunto dos números reais, não existe qualquer número que, substituindo a incógnita, iguale essas equações a zero. Os números complexos foram criados para que essas raízes não reais, não só das equações do segundo grau, mas de qualquer polinômio, fossem encontradas.
Os números complexos diferenciam-se dos reais por possuírem uma parte imaginária. Geralmente, eles são expressos da seguinte maneira:
Z = a + bi, com i = √-1
A letra a, no número Z acima, representa a parte real que compõe o número complexo. Dessa forma, o conjunto dos números reais está totalmente incluído no conjunto dos números complexos.
Os números reais possuem um elemento chamado inverso multiplicativo. Esse elemento é o único em todo o conjunto numérico que, multiplicado por seu inverso, tem como resultado a unidade.
Se “a” pertence aos números reais, então 1/a é o seu inverso multiplicativo:
a • 1 = 1
a
O mesmo acontece com os números complexos. Se A pertence aos números complexos, 1/A será seu inverso multiplicativo. Assim, A = a + bi e 1/A = a – bi. Esse número ficou conhecido como conjugado de um número complexo e, para indicá-lo, utilizamos a notação .
O módulo de um número complexo também é definido de forma análoga ao módulo de um número real. Enquanto o módulo de um número real é a distância entre esse número e o zero, considerando todos os números reais como uma reta numérica, o módulo de um número complexo é a distância entre o ponto que o representa no plano cartesiano e o ponto (0,0).
A expressão matemática para isso é |A| = √(a2 + b2), em que A = a + bi e |A| é a notação utilizada para módulo.
A seguir, utilizaremos essas definições para demonstrar propriedades envolvendo o conjugado e o módulo de números complexos. Refazer cada uma das demonstrações como se fossem exercícios é o caminho mais curto para aprender mais sobre elas e ficar preparado para qualquer exercício sobre o assunto.
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Propriedades envolvendo o conjugado de um número complexo:
Primeira propriedade: O produto de um número complexo por seu conjugado é a soma dos quadrados da parte real com a parte imaginária. Matematicamente, se A = a + bi:
A · A = a2 + b2
Demonstração:
A·A = (a + bi)(a – bi)
A·A = a2 – abi + abi – b2i2
A·A = a2 – b2i2
Como i = √-1, então:
A·A = a2 – b2·√-1·√-1
A·A = a2 – b2·(-1)
A·A = a2 + b2
_
Segunda propriedade: Se A é um número complexo, então A = A se, e somente se, A for um número real.
Demonstração:
A = A
a + bi = a – bi
bi = – bi
Como o único número que é positivo e negativo ao mesmo tempo (ou que não é positivo nem negativo) é o zero, então b = 0. Logo:
A = a
Terceira propriedade: A soma dos conjugados é igual ao conjugado da soma. Em outras palavras:
_ _ ____
A + B = A + B
Demonstração: Considere A = a + bi e B = c + di
_____
A + B
______________
(a + bi) + (c + di)
____________
a + c + bi + di
______________
(a + c) + (b + d)i
(a + c) – (b + d)i
a + c – bi – di
a – bi + c – di
_ _
A + B
Quarta propriedade: O produto do conjugado de um produto é igual ao produto dos conjugados.
___ _ _
A·B = A·B
Demonstração: Sejam A = a + bi e B = c + di:
___
A·B
___________
(a + bi)(c + di)
_________________
ac + adi + cbi + bdi2
__________________________
ac + adi + cbi – bd
________________
ac – bd + (ad + cb)i
ac – bd – (ad + cb)i
Agora faremos o produto entre os conjugados de A e B para comparar os dois resultados no final.
_ _
A·B
_____ _____
(a + bi)(c + di)
(a – bi)(c – di)
ac – adi – cbi + bdi2
ac – adi – cbi – bd
ac – bd – (ad + cb)i
Repare que o desenvolvimento dos dois lados da igualdade tem o mesmo resultado, portanto, a igualdade é válida.
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Propriedades envolvendo o módulo de um número complexo:
Primeira propriedade: O quadrado do módulo de um número complexo é igual ao produto desse mesmo número por seu conjugado. Em outras palavras:
AA = |A|2
Demonstração: seja A = a + bi. Isso significa que A = a – bi.
AA
(a + bi)(a – bi)
a2 – abi + abi – b2i2
a2 – b2(-1)
a2 + b2
Por outro lado,
|A|2
(√a2 + b2)2
a2 + b2
Os dois lados da igualdade têm o mesmo resultado, portanto, a igualdade é válida.
Segunda propriedade: O módulo de um número complexo é igual ao módulo de seu conjugado. Em outras palavras:
|A| = |A|
Demonstração: Seja A = a + bi, então A = a – bi.
|A| = √(a2 + b2)
|A| = √[(a2 + (–b)2] = √(a2 + b2)
Os dois lados da igualdade têm o mesmo resultado. Dessa forma, a igualdade é válida.
Terceira propriedade: O módulo do produto entre dois números complexos é igual ao produto dos módulos de dois números complexos. Em outras palavras:
|AB| = |A||B|
Demonstração: Sendo A e B números complexos quaisquer e utilizando a primeira propriedade em |AB|, temos:
__
|AB|2 = ABAB
Agora basta reorganizar os números complexos do segundo termo da igualdade e utilizar novamente a primeira propriedade para reescrevê-los em forma de módulo:
_ _
AABB
|A|2|B|2
(|A||B|)2
√(|A||B|)2
|A||B|
Como, partindo de |AB|, chegamos até |A||B|, então a propriedade é válida. Observe que os módulos sempre serão números não negativos. Esse é o motivo de ser possível extrair a raiz de (|A||B|)2 sem preocupações.