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Conjugado

O conjugado de um número complexo desempenha função importante nas operações dentro desse conjunto.
Conjugado de um número complexo
Conjugado de um número complexo

O Conjunto dos números complexos (C) é formado pelos pares ordenados de números reais, Z= x + yi, se somente se x R e y R. Z  C. Todo número complexo Z= (x, y) pode ser escrito na forma:

Exemplos: 2 +3i, 1+ i, 3i, 5i, 2-3i

Seja um número complexo: , seu conjugado será , para obtê-lo apenas trocamos o sinal da parte imaginária do número, ou seja, a parte real permanece igual e as imaginárias são simétricas.

Exemplos: 

 

Operações com conjugado

Observe que se multiplicarmos um número complexo por seu conjugado obteremos um número real.

(1+ 2i). (1- 2i)

1 - 2i + 2i - (2i)2

12 – (2i)2

1+ 4= 5  R.  * i2 = - 1

Consideremos os números Z1= 3 + i e Z2 = 2 + i, façamos a divisão de Z1 por Z2:

3 + i
2 + i

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3 + i  • 2 - i
2 + i    2 - i

6 – 3i + 2i – i2
    22 - i 2                    

  7 - i  
4 - (-1)

i
5   5

 
conjugado é utilizado para efetuar a divisão entre números complexos, note que multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Com tudo, podemos estabelecer as propriedades do conjugado de um número complexo:

|Z| = |Z| O módulo do conjugado de um número complexo será o mesmo módulo do número;

Z . Z = |Z|2 O produto de um número complexo pelo seu conjugado é o quadrado do módulo desse número, portanto, um número Real;

Z + Z = 2 x  R A soma de um número complexo ao seu conjugado resulta no dobro da parte real do número;

Z – Z= 2yi C A subtração de um número complexo com seu conjugado resulta no dobro da parte imaginária desse número.

Publicado por Camila Garcia

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