Equação logarítmica
Quando falamos de logaritmo, devemos nos lembrar de sua definição básica:
log a b = x → ax = b
E quando pensamos em equação logarítmica, devemos unir as ideias de logaritmo com as definições básicas de funções. Alguns tipos principais de equações destacam-se, são eles:
I. Logaritmo e um número real
Acabamos de rever a propriedade básica do logaritmo, em que log a b = x → ax = b, lembrando que há uma condição de existência, b > 0. Vamos então ver essa mesma ideia através da equação logarítmica:
log 3 (x + 5) = 2
32 = x + 5
x + 5 = 32
x + 5 = 9
x = 9 – 5
x = 4
Vamos substituir o valor encontrado para x a fim de verificar a condição de existência:
x + 5 > 0 → 4 + 5 > 0 → 9 > 0.
Como a condição de existência foi respeitada, concluímos que a solução da equação é x = 4.
Vejamos outro exemplo:
log (3+x) (x2 – x) = 1
(3 + x)1 = x2 – x
x2 – x = 3 + x
x2 – 2x – 3 = 0
Para resolvermos essa equação, vamos utilizar a Fórmula de Bhaskara:
Se fizermos x' = 1 + 2, teremos x' = 3. E se fizermos x'' = 1 – 2, teremos x'' = – 1.
Vamos agora substituir os valores encontrados para x a fim de verificar a condição de existência. Para x' = 3, temos:
x2 – x = 32 – 3 = 9 – 3 = 6 > 0
Para x'' = --1,
x2 – x = (-1)2 – (– 1) = 1 + 1 = 2 > 0
Concluímos então que os resultados possíveis para essa equação são x = – 1 e x = 3.
II. Logaritmos de mesma base:
Se tivermos uma equação logarítmica do tipo log a n = log a m, já que a base é a mesma, para a igualdade ser verdadeira, é necessário que n = m. É importante ainda que n = m > 0, que é a nossa condição de existência. Vejamos um exemplo prático utilizando equação:
log 2 (4x + 5) = log 2 (2x + 11)
Nesse exemplo, a base 2 é a mesma em ambos os lados da equação, portanto, para a igualdade ser verdadeira, é necessário que 4x + 5 seja igual a 2x + 11, temos então:
4x + 5 = 2x + 11
4x – 2x = 11 – 5
2x = 6
x = 6/2
x = 3
Vamos substituir o valor encontrado para x para verificarmos a condição de existência:
4x + 5 = 4 . 3 + 5 = 12 + 5 = 17 > 0
2x + 11 = 2 . 3 + 11 = 6 + 11 = 17 > 0
Vejamos um novo exemplo:
log (x + 2) (x2 + x) = log (x + 2) 12
As bases dos logaritmos são iguais, então, para que a igualdade seja verdadeira, é necessário que x2 – 2x = 3, temos então:
x2 + x = 12
x2 + x – 12 = 0
Vamos novamente utilizar a Fórmula de Bhaskara:
Substituindo esses valores na condição de existência, temos:
Para x' = 3,
x2 + x = 32 + 3 = 9 + 3 = 12 > 0
Para x'' = – 4,
x2 + x = (– 4)2 + (– 4) = 16 – 4 = 12 > 0
Podemos ainda trabalhar com outros dois tipos de equações, aquelas em que precisamos aplicar as propriedades do logaritmo e outras em que é necessário realizar mudança de base e substituição por uma incógnita. Você pode ver mais detalhes sobre esses casos no texto “Equação Logarítmica II”.