Propriedades dos logaritmos

Os logaritmos, criados por John Napier e Jobst Burgi, e posteriormente adaptados por Henry Briggs, possuem a seguinte lei de formação:

log_ab = x, em que:

a = base do logaritmo

b = logaritmando

x = logaritmo

O logaritmo de um número b, em uma base a, é o expoente x que se deve aplicar à base a para obter o número b. Dessa forma:

log_ab = x ↔ a^x = b

Exemplos:

log₃9 ↔ 3² = 9

log₁₀100 ↔ 10² = 100

log₂16 ↔ 2⁴ = 16

log₉81 ↔ 9² = 81

Propriedades dos logaritmos

A partir dessa definição, podemos apresentar algumas definições que auxiliarão no desenvolvimento de algumas situações envolvendo logaritmo. Veja:

O logaritmo do número 1, em qualquer base sempre, será igual a 0.

log_a1 = 0, pois a⁰ = 1

O logaritmo de qualquer número a, na própria base a, será igual a 1.

log_aa = 1, pois a¹ = a

O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base.

log_aa^m = m, pois m·log_aa = m·1 = m

A potência de base a e expoente log_ab é igual a b.

a^logab = b, pois log_ab = x → a^x = b

Dois logaritmos são iguais quando seus logaritmandos forem iguais.

log_ab = log_ac ↔ b = c

Exemplos

Aplicar a definição de logaritmo para calcular o valor de x em cada caso:

a) log₃27 = x → 3^x = 27 → x = 3

b) log₈₁x = 3/4 → x = 81^3/4 → x = (3⁴)^3/4 → x = 3^12/4 → x = 3³ → x = 27

c) log₄√2 = x → 4^x = √2 → 2^2x = √2 → 2^2x = 2^1/2 → 2x = 1/2 → x = 1/4

d) log_x8 = 2 → x² = 8 → √x = √8 → x = 2√2

e) log₄(2x – 1) = 1/2 → 2x – 1 = 4^1/2 → 2x – 1 = √4 → 2x – 1 = 2 → 2x = 3 → x = 3/2

f) log₁₈18 = x → 18^x = 18 → x = 1

g) log_x1024 = 2 → x₂ = 1024 → √x² = √1024 → x = 32

h) log₄0,25 = x → 4^x = 0,25 → 4^x = 25/100 → 4^x = 1/4 → 4^x = 4–1 → x = –1

i) 16^log25 = (2⁴)^log25 = (2^log25)⁴ = 5⁴ = 625

j) log0,01 = x → 10^x = 0,01 → 10^x = 1/100 → 10^x = 10^–2 → x = –2