Inequações-Produto

Diferentemente das equações, nas inequações não temos apenas o sinal de igualdade, mas sim uma desigualdade de valores. Essas desigualdades podem ser determinadas da seguinte maneira:

Nas inequações-produto iremos nos deparar com essas desigualdades, mas note que, com exceção da primeira, todas são desigualdades que se referem a uma diferença entre valores, podendo ser realizadas com a análise do sinal das expressões algébricas envolvidas na inequação.

Por se tratar de uma inequação-produto, teremos o produto entre duas ou mais funções relacionadas a uma determinada desigualdade.

Algo que estudamos nos processos aritméticos é a mudança de sinal através da multiplicação. No estudo das inequações-produto não será diferente, pois temos produto de funções.

Portanto, deveremos analisar os sinais de cada função separadamente e depois os sinais do produto dessas funções. Com isso, obteremos os valores que satisfazem a desigualdade proposta na inequação.

Façamos um exemplo que mostra como proceder nessas inequações.

“Determine os valores de x que satisfazem a desigualdade a seguir:”

(x-5).(-2x+4).x≥0

Note que temos três funções nessa inequação, estando essas multiplicadas, portanto devemos estudar os sinais de todas essas funções e posteriormente o sinal do produto entre elas.

Para melhor análise, iremos nomear essas funções da seguinte maneira:

f(x)=(x-5)
g(x)=-2x+4
h(x)=x

• Estudo do sinal das funções:
  • f(x)=x–5

Temos que x=5 é a raiz dessa função. Assim, ela é crescente, pois o coeficiente do x é positivo. Portanto, podemos realizar a análise do sinal da função a partir da sua raiz e do valor do sinal do seu coeficiente. Obtendo, assim:

• g(x)= –2x+4

A raiz dessa função é x =2. Note que essa função é decrescente, pois o coeficiente do x é negativo. Façamos a análise do sinal:

• h(x) = x

A raiz dessa função é x =0. Trata-se de uma função crescente. Vejamos a análise do sinal dessa função.

Agora devemos analisar o produto dos sinais dessas funções. Para isso, utilizaremos um quadro de sinais.

Você se lembra da inequação? A desigualdade do produto deve ser maior ou igual a zero. Veja-a novamente:

(x-5).(-2x+4).x≥0

Assim sendo, no quadro de sinais devemos encontrar o intervalo de valores no qual o produto das funções satisfaz à condição de ser maior ou igual a zero, ou seja, ele deve ser positivo. Com isso, pela análise do quadro de sinais, obtemos o seguinte conjunto solução da inequação-produto:

Por fim, veja que temos dois passos muito importantes para a resolução de inequações-produto: primeiramente, determinar os sinais de cada função de acordo com a sua raiz; depois, feito isso com todas as funções, construir o quadro de sinais para realizar o produto dos sinais e obter os reais sinais da função produto, afinal é ela que determina a desigualdade final.