Equação do 2º grau
Equação do 2º grau é uma equação do tipo \(ax^2+bx+c=0\), em que a, b e c são número reais, conhecidos como coeficientes da equação. A equação do 2º grau pode ser completa, se os seus coeficientes são diferentes de 0, e incompleta, caso o coeficiente b ou c seja igual a 0.
Para resolver uma equação do 2ºgrau, utiliza-se diferentes métodos, o principal deles é a fórmula de Bhaskara, mas pode-se resolvê-la também por soma e produto. A equação do 2º grau pode ter duas soluções reais, uma solução real ou nenhuma solução real, e, para verificar a quantidade de soluções, calcula-se o valor do Δ.
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Resumo sobre a equação do 2º grau
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A equação do 2º grau é do tipo ax² + bx + c = 0.
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Pode ser completa, se os seus coeficientes forem todos diferentes de zero, e incompleta, caso contrário.
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Para encontrar suas soluções, calcula-se o discriminante Δ e depois utiliza-se a fórmula de Bhaskara.
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Se Δ > 0, a equação possui duas soluções reais.
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Se Δ = 0, a equação possui uma solução real.
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Se Δ < 0, a equação não possui solução real.
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A fórmula de Bhaskara é:
\(x=\frac{-b±\sqrtΔ}{2a}\)
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Pode-se resolver a equação do 2º grau pela operação soma e produto.
Videoaula sobre equação do 2º grau
O que é uma equação do 2º grau?
Conhece-se como equação do 2º grau as equações do tipo \(ax^2+bx+c=0\), em que \(a≠0\), e a, b e c são números reais conhecidos como coeficientes da equação do 2º grau.
Exemplos:
2x² + 3x – 4 = 0
x² + 2x = 0
– x² + 14 = 0
Quais são os tipos de equação do 2º grau?
Uma equação do 2º grau pode ser completa ou incompleta. Ela é completa quando possui todos os coeficientes diferentes de 0, e incompleta, caso o coeficiente b ou o coeficiente c sejam iguais a 0. O coeficiente a não pode ser igual a 0, pois, caso fosse, a equação não seria do 2º grau.
As equações incompletas se dividem em três casos, são eles, quando b = 0, quando c = 0 e quando b e c = 0. Veja cada uma deles a seguir.
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Equação completa: quando os coeficientes a, b e c são diferentes de 0. Exemplos:
x² + 2x – 13 = 0
2x² – x + 4 = 0
– 4x² + 14x – 1 = 0
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Equação incompleta: quando os coeficientes b ou c são iguais a 0.
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Equações do tipo ax² + bx = 0: quando c = 0, a equação incompleta não possuirá o coeficiente c, conhecido também como termo independente da equação. Exemplos:
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2x² + 5x = 0
-x² + x = 0
2x² + 2x = 0
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Equações do tipo ax² + c = 0: quando b = 0, a equação do 2º grau não possuirá o termo bx.
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2x² – 4 = 0
-x² + 9 = 0
x² – 5 = 0
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Equações do tipo ax² = 0: quando b e c são iguais a 0, a equação não possuirá o termo bx nem o termo c. Só possuirá uma única solução, x = 0.
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\(2x^2=0\)
\(x^2=\frac{0}2\)
\(x^2=0\)
\(x=0\)
Como resolver a equação do 2ºgrau?
As soluções de uma equação do 2º grau, conhecidas também como raízes da equação, são os valores de x que fazem com que essa equação seja verdadeira. Uma equação do 2º grau pode ter duas soluções reais, uma solução real, ou até mesmo nenhuma solução real. Veja, a seguir, os dois métodos para calcular as soluções da equação de 2ºgrau, são eles a fórmula de Bhaskara e a operação soma e produto.
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Fórmula de Bhaskara
A fórmula de Bhaskara utiliza os coeficientes a, b e c para encontrar a solução da equação. Para resolver uma equação utilizando a fórmula de Bhaskara, calcula-se o discriminante, representado pela letra grega Δ (delta).
\(Δ=b^2-4ac\)
Com o valor do discriminante, é possível saber se a equação possui solução real e quantas soluções são:
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Se Δ > 0, então a equação possui duas soluções reais.
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Se Δ = 0, então a equação possui uma solução real.
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Se Δ < 0, então a equação não possui solução real.
Além do discriminante, é necessário calcular o valor de x pela fórmula de Bhaskara:
\(x=\frac{-b±\sqrtΔ}{2a}\)
Exemplo:
Resolva a equação: x² + 3x – 4 = 0
Para resolver a equação, primeiro, identifica-se os seus coeficientes:
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a = 1
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b = 3
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c = -4
Agora calcula-se o discriminante:
Δ = b² – 4ac
Δ = 3² – 4 · 1 · (-4)
Δ = 9 – 4 · (-4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25
E utiliza-se a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções da equação:
\(x=\frac{-b±\sqrtΔ}{2a}\)
\(x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\cdot1}\)
\(x=\frac{-3±5}{2}\)
Após simplificar a expressão ao máximo possível, ela será dividida em duas soluções, \(x_1\) e \(x_2\). A primeira é considerada a soma entre os números do numerador, e na segunda considera-se a diferença entre os números do numerador:
\(x_1=\frac{-3+5}2=\frac{2}2=1\)
\(x_2=\frac{-3-5}2=\frac{-8}2=-4\)
Então essa equação possui duas soluções, são elas, x = 1 ou x = \(-4\).
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Soma e produto
A operação soma e produto é um método mais intuitivo de resolução. Utiliza-se a soma e o produto quando as soluções da equação de 2º grau são números inteiros, pois, dada uma equação do 2º grau com soluções iguais a \(x_1\) e \(x_2\), tem-se que:
\(x_1+x_2=-\frac{b}a\)
\(x_1⋅x_2=\frac{c}a\)
Exemplo:
Quais são as raízes da equação x² – 2x – 8 = 0?
Primeiro, deve-se encontrar a, b e c.
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a = 1
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b = -2
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c = -8
Substituindo os valores de a, b e c na fórmula:
\(x_1+x_2=-\frac{(-2)}1=2\)
\( x_1⋅x_2=\frac{-8}1= - 8\)
Agora, uma lista dos números inteiros em que a multiplicação será igual a -8:
\(1⋅(-8)=-8\)
\((-1)⋅8=-8\)
\(2⋅(-4)=-8\)
\((-2)⋅4=-8\)
Dos números da lista, verifica-se qual deles satisfaz a soma, ou seja, o par de números cuja soma é 2.
\((-2)+4=2\)
Note que esse par é o único cuja soma é igual a 2, então as soluções dessa equação são -2 e 4.
Leia também: Como resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita
Sistema de equações do 2º grau
Para encontrar as soluções de um sistema de equação do 2º grau, utiliza-se o método de substituição.
Exemplo:
Resolução:
Primeiro, isola-se uma das incógnitas na equação do 1º grau:
\(y=5 –x \)
Depois, substitui-se o valor de y na primeira equação:
\(x^2 + y^2 =13\)
\(x^2 + (5 – x)^2 =13\)
\(x^2+ 25 – 10x +x^2 =13\)
\(2x^2– 10x + 25 – 13=0\)
\(2x^2 –10x + 12 = 0\)
Agora que foi encontrada uma equação do 2º grau, ela será resolvida utilizando-se um dos métodos apresentados anteriormente. Resolvendo por soma e produto, tem-se que:
\(x_1+x_2=-\frac{(-10)}2=-(-5)=5\)
\(x_1⋅x_2=\frac{12}2=6\)
Encontrando os números cujo produto é 6:
\(1⋅6=6\)
\(2⋅3=6 \)
Note que, das opões que se apresentam, somente 2 e 3 somam 5, logo, as soluções dessa equação são 2 e 3.
Se x = 2, tem-se que:
x + y = 5
2 + y = 5
y = 5 – 2
y = 3
Se y = 3, tem-se que:
3 + y = 5
y = 5 – 3
y = 2
Assim, as soluções são: S = {(2,3); (3,2)}.
Exercícios resolvidos sobre equações do 2º grau
Questão 1
Dada a equação \(2x^2+4x-8=0\), a soma das suas raízes é igual a:
A) 2
B) 1
C) 0
D) -1
E) -2
Resolução:
Alternativa E
Pela fórmula de soma e produto, tem-se que:
\(x_1+x_2=-\frac{b}a\)
\(x_1+x_2=-\frac{4}2\)
\(x_1+x_2=-2\)
Questão 2
Um retângulo tem lados medindo (x + 5) e (x – 3). Se a área desse retângulo é de 65 cm², então a medida de x é:
A) 4 cm
B) 5 cm
C) 6 cm
D) 7 cm
E) 8 cm
Resolução:
Alternativa E
Para calcular a área do retângulo, multiplica-se as suas duas dimensões.
(x + 5)(x – 3) = x² – 3x + 5x – 15 = 65
x² + 2x – 15 – 65 = 0
x² + 2x – 80 = 0
Dada a equação do 2º, tem-se que:
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a = 1
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b = 2
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c = -80
\(Δ=b^2-4ac\)
\(Δ=2^2-4⋅1⋅(-80)\)
\(Δ= 4 +320\)
\(Δ= 324\)
\(x=\frac{-b±\sqrtΔ}{2a}\)
\(x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2⋅1}\)
\(x=\frac{-2±18}2\)
\(x_1=\frac{-2+18}2=\frac{16}2=8\)
\(x_2=\frac{-2-18}2=\frac{-20}2=-10\)
Sabe-se que a medida de um lado do retângulo não pode ser negativa, logo, tem-se que x = 8.