Multiplicação de matrizes
A multiplicação de matrizes é uma operação entre matrizes, conjuntos de dados divididos por linhas e colunas. Essa operação só pode ser realizada se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. O resultado dessa multiplicação será uma nova matriz (a matriz produto) com a quantidade de linhas da primeira matriz e a quantidade de colunas da segunda matriz.
Leia também: Adição e subtração de matrizes — como fazer?
Resumo sobre multiplicação de matrizes
- A multiplicação de matrizes é uma operação que resulta em uma nova matriz, chamada de matriz produto.
- Os elementos da matriz produto são relações das linhas da primeira matriz com as colunas da segunda matriz.
- A multiplicação de matrizes só é possível quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz.
- Se a multiplicação existir, a matriz produto terá a quantidade de linhas da primeira matriz e a quantidade de colunas da segunda matriz.
- Para multiplicar um número real k por uma matriz A, basta multiplicar k por cada elemento de A.
- A matriz identidade é uma matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0.
- A inversa de uma matriz M é uma matriz M-1 tal que M⋅M-1=I.
Videoaula sobre multiplicação de matrizes
Como calcular a multiplicação de matrizes?
A multiplicação de matrizes não é uma operação intuitiva. Enquanto a adição e subtração de matrizes são realizadas entre os elementos que ocupam a mesma posição, o processo de multiplicação é totalmente diferente.
Em primeiro lugar, não são quaisquer matrizes que podem ser multiplicadas. Assim, antes de fazer qualquer cálculo, é necessário analisar a condição de existência para essa operação.
Considere uma matriz A de ordem mxn e uma matriz B de ordem pxq. A multiplicação A⋅B, nessa ordem, só é possível se n = p. Isso significa que duas matrizes só podem ser multiplicadas se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.
Além disso, supondo que a A⋅B exista, a matriz C resultante terá o número de linhas de A (primeira matriz) e o número de colunas de B (segunda matriz). No exemplo anterior, a ordem de C será mxq.
Mas como obter a matriz C, ou seja, como calcular a multiplicação A⋅B?
Considere cij o elemento da matriz C na linha i e coluna j. Cada elemento cij é a soma dos produtos entre os elementos correspondentes da linha i de A (primeira matriz) e da coluna j de B (segunda matriz). Parece difícil? Vejamos alguns exemplos para ilustrar esse processo.
- Exemplo 1:
Calcule a multiplicação A⋅B para as matrizes
Resolução:
Verificando a condição de existência para a multiplicação A⋅B: note que o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B. Assim, existe a multiplicação A⋅B.
Considere C = A⋅B. Como o número de linhas de A é 2 e o número de colunas de B é 2, a ordem de C é 2x2.
Agora vamos encontrar cada elemento de C. Lembre-se de que cada elemento cij corresponde a uma relação entre a linha i de A e a coluna j de B:
Portanto,
Logo,
- Exemplo 2:
Calcule a multiplicação B⋅A para as matrizes
Resolução:
Verificando a condição de existência para a multiplicação B⋅A: note que o número de colunas da matriz B é igual ao número de linhas da matriz A. Assim, existe a multiplicação B ⋅A.
Considere
Agora vamos encontrar cada elemento de C. Observe que a multiplicação nesse caso é B⋅A:
Portanto,
Logo,
- Exemplo 3:
Calcule a multiplicação A⋅B para as matrizes
Resolução:
Verificando a condição de existência para a multiplicação A⋅B: note que o número de colunas da matriz A (3) é diferente do número de linhas da matriz B (2). Assim, a multiplicação A⋅B não existe.
Importante: Vale destacar que, geralmente, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A ⋅B ≠B ⋅A. Considere o exemplo 3, em que a ordem de A é 4x3 e a ordem de B é 2x4. A multiplicação A⋅B não existe, mas a multiplicação B⋅A existe e resulta em uma matriz C de ordem 2x3.
Multiplicação de um número real por uma matriz
A multiplicação de um número real por uma matriz é outra operação envolvendo matrizes. Considere um número real k e uma matriz
- Exemplo:
Considere
Resolução:
Matriz identidade
A matriz identidade é a matriz quadrada (matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas) cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0. Essa matriz é representada pela notação In, em que n é a ordem da matriz.
- Exemplos:
Uma propriedade importante da matriz identidade está relacionada à multiplicação de matrizes. Considere uma matriz quadrada A de ordem n. Assim, temos que
Matriz inversa
A matriz inversa da matriz M é a matriz M-1. Ela é assim chamada se
Isso significa que o produto entre uma matriz M e sua inversa resulta em uma matriz identidade.
Importante: Nem todas as matrizes apresentam inversa.
Veja também: Como determinar a igualdade entre matrizes?
Exercícios resolvidos sobre multiplicação de matrizes
Questão 1
(Unicamp) Considere a e b números reais tais que a matriz
A) – 2.
B) – 1.
C) 1.
D) 2.
Resolução:
Alternativa A.
Primeiro vamos calcular A2, ou seja, A⋅A. Como A é uma matriz quadrada, concluímos que essa multiplicação existe e resulta em uma matriz 2x2.
Ainda,
Portanto,
Logo,
Ou seja,
Questão 2
(FGV) Dada a matriz
A) 14.
B) 13.
C) 15.
D) 12.
E) 16.
Resolução:
Alternativa B.
Multiplicando a equação AX = B por A-1 à esquerda, temos
Como A-1 é inversa de A, então
Como I é a matriz identidade,
Portanto, a soma dos elementos é
10 + 3 = 13
Fontes
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear. 3ª ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.
LIMA, Elon Lages. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2014