Matriz quadrada

A matriz quadrada é aquela que possui o número de linhas igual ao número de colunas.

A matriz quadrada é um tipo especial de matriz. Uma matriz é classificada como quadrada quando possui o número de linhas igual ao número de colunas. A matriz quadrada possui aplicações importantes, como na resolução de sistemas lineares. Ela possui duas diagonais, a principal e a secundária, que são essenciais para se calcular o determinante da matriz. O determinante da matriz é um número associado à matriz quadrada. Podemos calculá-lo, e o método para calcular esse determinante depende do formato da matriz — se ela é de ordem 1, ordem 2 ou ordem 3.

Resumo sobre matriz quadrada

A matriz quadrada é aquela que possui o número de linhas igual ao número de colunas.

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix}\right]\)

Ela possui diagonal principal e diagonal secundária.
O determinante da matriz é um número associado a ela, exclusivo de matrizes quadradas.
O método para calcular o determinante da matriz depende do número de linhas e colunas dessa matriz.

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O que é matriz quadrada?

A matriz quadrada é a aquela que possui o número de linhas m igual ao número de colunas n. As matrizes quadradas mais comuns são as de ordem 1 (ou seja, 1 linha e 1 coluna), as de ordem 2 e as de ordem 3.

\(A=\left[2\right]\) → matriz quadrada com 1 linha e 1 coluna
\(B\ =\ \left[\begin{matrix}1&2\\3&4\\\end{matrix}\right]\) → matriz quadrada com 2 linhas e 2 colunas
\(C\ =\left[\begin{matrix}1&6&7\\2&5&8\\3&4&9\\\end{matrix}\right]\ \) → matriz quadrada com 3 linhas e 3 colunas

De modo geral, as matrizes quadradas são:

\(A=\left[a_{11}\right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B\ =\ \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C\ =\ \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right]\)

As matrizes acima são, respectivamente, de ordem 1, ordem 2 e ordem 3. Podemos ter matrizes quadradas de ordem maior que 3, com quantas linhas e quantas colunas forem necessárias.

Matriz quadrada: diagonal principal e diagonal secundária

Outros elementos importantes nas matrizes quadradas são a diagonal principal e a diagonal secundária.

Veja, destacados em vermelho, os elementos que ocupam a diagonal principal em uma matriz quadrada de ordem 2 e em uma de ordem 3 e note que o número da linha e o número da coluna é sempre o mesmo.

Matriz de ordem 2 e matriz de ordem 3 com suas diagonais principais destacadas em vermelho.

Além da principal, existe a outra diagonal, conhecida como diagonal secundária. Veja, a seguir, a diagonal secundária destacada em azul.

Matriz de ordem 2 e matriz de ordem 3 com suas diagonais secundárias destacadas em azul.

Exemplo 1:

Veja os termos que compõem a diagonal principal e a diagonal secundária:

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}-1\ &3\\2&-2\\\end{matrix}\right]\)

A diagonal principal é composta pelos termos:

\(a_{11}=-\ 1\ \) \(e\) \(a_{22}=-2\)

A diagonal secundária é composta pelos termos:

\(a_{12}=3\) \(e\) \(a_{21}=2\)

Exemplo 2:

\(B\ =\ \left[\begin{matrix}6&-\ 2\ &0\\3&2&1\\4&-\ 5\ &5\\\end{matrix}\right]\)

A diagonal principal é composta pelos termos:

\(a_{11}=6,\) \(a_{22}=2 \) \(e \) \(a_{33}=5\)

A diagonal secundária é composta pelos termos

\(a_{13}=0,\) \(a_{22}=2\ \ \)\(e \) \(a_{31}=4\)

Veja também: O que é matriz inversa?

Cálculo do determinante de uma matriz

O determinante é um valor associado à matriz que auxilia na resolução de problemas envolvendo matrizes. Veja, a seguir, como calcular o determinante de matrizes de ordem 1, ordem 2 e ordem 3.

Determinante de matriz de ordem 1

Como a matriz de ordem 1 possui um único termo, o seu determinante será igual a esse termo. Chamamos de \(det\left(A\right) \) o determinante da matriz A. Se a matriz \(A = [a_{11}], \), o determinante de A é igual a:

\(det(A) = a_{11}\)

Exemplo:

Sendo:

\(A=\left[\ 3\ \right]\)

Então:

\(det(A)=3\)

Determinante de matriz de ordem 2

Para descobrir o determinante de uma matriz de ordem 2, calculamos a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e os termos da diagonal secundária.

\(A=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]\ \ \)

\(det\left(A\right)=a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}\)

Exemplo:

\(A=\left[\begin{matrix}2\ &3\\4&5\\\end{matrix}\right]\ \)

\(det\left(A\right)=5\cdot2-4\cdot3=10-12=-2\ \)

Determinante de uma matriz de ordem 3

Quanto maior o número de linhas e colunas de uma matriz, mais complexos são os métodos para se calcular o seu determinante. O método mais comum para o cálculo do determinante da matriz de ordem 3 é conhecido como regra de Sarrus. Consideremos a matriz de ordem 3:

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\right]\)

Primeiramente, repetimos ao final da matriz as suas duas primeiras colunas:

\(A=\left|\begin{matrix}\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right|\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{matrix}\)

Agora, calculamos três produtos: o produto dos termos da diagonal principal e das duas diagonais paralelas a ela. Posteriormente, somamos esses três produtos e os chamamos de \(S_1\).

Matriz A com as duas primeiras colunas duplicadas e com a diagonal principal e as diagonais paralelas com cores diferentes.

Calculamos também o produto entre os termos da diagonal secundária e das outras duas diagonais paralelas a ela e somamos esses três produtos como \(S_2\).

Matriz A com as duas primeiras colunas duplicadas e com a diagonal secundária e as diagonais paralelas com cores diferentes.

O determinante da matriz será a diferença entre \(S_1\) e \(S_2\):

\({det(A)\ =\ a}_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{23}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}\ -\ (a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}+a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}+a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33})\)