Potência i

Os números considerados complexos são escritos acompanhados de uma parte imaginária. No complexo z = a + bi, temos que a parte imaginária é representada por bi. Considerando i a unidade imaginária, vamos determinar alguns valores de in. Veja:

Qualquer número elevado a zero será sempre 1, então:
i ⁰ = 1

Qualquer número elevado a 1 será ele mesmo, então:
i ¹ = i

Conforme a regra dos números complexos:
i ² = – 1
i ³ = i² * i = (–1) * i = –i
i ⁴ = i² * i² = (–1) * (– 1) = 1
i ⁵ = i⁴ * i = 1 * i = i
i ⁶ = i⁵ * i = i * i = i² = –1
i ⁷ = i⁶ * i = (–1) * i = – i
i ⁸ = i⁴ * i⁴ = 1 * 1 = 1
i⁹ = i⁸ * i = 1 * i = i
i¹⁰ =(i²)⁵ = (–1)⁵ = –1

A partir da potência i⁴ as outras vão se repetindo de 4 em 4, para calcularmos iⁿ (n um número inteiro qualquer), para calcularmos por exemplo a potência i³⁴³, iremos dividir o expoente n por 4. No caso do exemplo, iremos dividir 343 por 4, irá sobrar um resto r igual a 3, assim, podemos concluir que:

i ⁿ = i ^r
i ³⁴³ = i³, portanto i³⁴³ = – i

Exemplo 1

Aplicando as propriedades da potência, calcule (2 – 2i)⁶.
Podemos fatorar o expoente da seguinte forma:

[(2 – 2i)²]³ =
[2² – 2 * 2 * (2i) + (2i)²]³
[4 – 8i + 4i²]³ =
[4 – 8i + 4 * (–1)]³ =
[4 – 8i – 4]³ =
[– 8i]³ =
– 512 * i³ =
– 512 * (– i) =
+ 512i

Exemplo 2

Para calcularmos a seguinte soma: i¹⁹⁹³ + i¹⁹⁹⁴ + i¹⁹⁹⁵, devemos dividir cada expoente por 4 utilizando da seguinte propriedade i ⁿ = i ^r.
Dividindo 1993 por 4, termos como resto 1; dividindo 1994 por 4, teremos resto 2; dividindo 1995 por 4, teremos resto 3, substituindo os expoentes 1993, 1994 e 1995 (aplicando a propriedade iⁿ = i^r) pelos seus respectivos restos, teremos:

i¹ + i² + i³ =
i + (–1) + (–i) =
i – 1 – i =
– 1 + i – i =
– 1

Portanto, i¹⁹⁹³ + i¹⁹⁹⁴ + i¹⁹⁹⁵ = –1.