Soma dos infinitos termos de uma P.G

A quantidade de termos de uma PG pode ser finita ou infinita, caso a progressão geométrica seja finita, a soma dos elementos que a constituem será dado pela expressão:

Quando a PG dada for infinita, a soma dos termos de seus elementos não será determinada pela expressão citada. A expressão matemática responsável pela soma dos termos de uma PG infinita será:

Exemplo 1

Calcule a soma dos infinitos termos da PG (45, 15, 5, ...).

É preciso que identifiquemos o valor da razão dessa PG.
q = 15/45 = 1/3, como está entre -1 e 1, podemos dar continuidade ao cálculo da soma dos seus infinitos termos.

S∞ = 45 / (1 – 1/3)
S∞ = 45 / 2/3
S∞ = 45 * 3/2
S∞ = 135/ 2

Exemplo 2

A soma dos infinitos termos da PG (x , x/2 , x/4 , ...) é 5. Determine x.




Exemplo 3

A soma dos infinitos termos da PG é 9/2. Determine a razão dessa PG sabendo que a1 = 3.

a₁ = 3
S = 9/2
q = ?





Exemplo 4

Vamos obter a fração geratriz da dízima 0,333333...
Seja x = 0,3333... iremos escrever x na seguinte forma:
x = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 + 0,000003 + 0,0000003 + 0,00000003 + ...

Observe que x representa a soma dos infinitos termos de uma PG, onde o 1º termo é 0,3 e a razão é q = 0,03/0,3 = 0,1.