PA e PG

Q: O que é PA é PG?

Progressão aritmética (PA) e progressão geométrica (PG) são sequências numéricas com uma razão constante. Enquanto a razão da PA é a diferença entre dois termos consecutivos, a razão da PG é divisão entre dois termos consecutivos.

PA e PG (progressão aritmética e progressão geométrica) são sequências numéricas com razão constante que possibilitam a previsão de padrões e tendências em séries numéricas.

Progressão aritmética (PA) e progressão geométrica (PG) são sequências numéricas com uma razão constante. Enquanto a razão da PA é a diferença entre dois termos consecutivos, a razão da PG é divisão entre dois termos consecutivos. A PA e a PG evitam que tenhamos que contar ou calcular um termo de cada vez em uma sequência numérica.

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Leia também: Como calcular razão e proporção

Resumo sobre PA e PG

A PA (progressão aritmética) é aquela em que o segundo termo menos o primeiro termo fornece a razão da PA.
A PG (progressão geométrica) é aquela em que o segundo termo dividido pelo primeiro termo fornece a razão da PG.
A progressão aritmética pode ser finita, infinita, crescente, decrescente ou constante.
A progressão geométrica pode ser crescente, decrescente, oscilante ou constante.
Em uma progressão aritmética ou geométrica, calculamos a soma dos seus termos e o termo médio delas.
Nas progressões é possível calcular o primeiro termo, o enésimo termo, o número de termos, a soma dos termos, o termo médio, a razão comum da sequência.

O que é PA (progressão aritmética)?

A progressão aritmética é uma sequência de termos cuja razão é constante e dada pela diferença entre dois termos consecutivos. Para n termos, ela pode ser representada como:

\(PA = a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots, a_n\)

De outra maneira:

\(PA=a_1,(a_1+1\cdot r),(a_1+2\cdot r),(a_1+3\cdot r),\ldots,(a_1+(n-1)\cdot r)\)

O termo seguinte de uma PA é formado a partir do primeiro termo (a₁), somado à razão comum (r), vezes a posição do termo menos um (n-1).

Exemplo:

Identifique os três primeiros termos da PA = 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... e o décimo termo, sabendo que a razão comum é 2.

O primeiro termo a₁ é o 2.

O segundo termo a₂ é o 4, resultado de \((a_1+1\cdot r)=2+2=4\).

O terceiro termo a₃ é o 6, resultado de \((a_1+2\cdot r)=2+(2\cdot 2)=6 \).

O décimo termo a₁₀ não está escrito, mas, como sabemos que é uma PA e que segue a representação mostrada anteriormente, faremos a soma do primeiro termo com a multiplicação da posição do termo menos um e a razão comum, como representado abaixo:

\(a_{10}=(a_1+(n-1)\cdot r)=2+((10-1)\cdot 2)=20 \)

Então, o décimo termo a₁₀ é 20.

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→ Tipos de PA

Quanto à razão, a PA pode ser classificada como crescente, decrescente ou constante.

PA crescente: é aquela em que os valores numéricos vão crescendo e a razão é um número maior que zero. Por exemplo: 3, 5, 7, 9, ..., cuja razão é igual a 2.
PA decrescente: é aquela em que os valores numéricos vão decrescendo e a razão é um número menor que zero. Por exemplo: 0, -1, -2, -3, ..., cuja razão é igual a -1.
PA constante: é aquela em que os valores numéricos são iguais e a razão é igual a zero. Por exemplo: 5, 5, 5, 5, cuja razão é igual a 0.

Quanto ao número de termos, a PA pode ser classificada como finita ou infinita.

A PA finita é aquela com certa quantidade de termos. Por exemplo: 11, 22, 33.
A PA infinita é aquela com infinitos termos. Por exemplo: 2, 4, 6, 8,..., ∞.

→ Soma dos termos da PA

A soma dos temos da PA é o valor resultante do somatório de todos os termos da progressão aritmética. Ela é calculada pela fórmula:

\(S_n = \frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\)

S_n é a soma dos termos de uma PA.
a₁ é o primeiro termo da sequência.
a_n é o n-ésimo termo da sequência.
n é o número de termos da sequência.

Exemplo:

Qual é a soma dos 50 primeiros termos da PA, se o seu primeiro termo for 2 e o quinquagésimo termo for 100?

Calcularemos a soma dos termos de uma PA usando a sua fórmula:

\(S_n = \frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\\ S_{50} = \frac{(a_1+a_{50})\cdot 50}{2}\\ S_{50} = \frac{(2+100)\cdot 50}{2}\\ S_{50} = 2550\)

→ Termo médio da PA

O termo médio da PA é o termo central da progressão aritmética.

TM em PA com número ímpar de termos

O termo médio da PA com número ímpar de termos é calculado por uma média aritmética entre o primeiro termo e o último termo da PA, dada pela fórmula:

\(TM = \frac{a_1+a_n}{2}\)

TM é o termo médio de uma PA.
a₁ é o primeiro termo da sequência.
a_n é o n-ésimo termo da sequência.

Exemplo:

Determine o termo médio da PA 3, 7, 11, 15, 19.

Calcularemos o termo médio de uma PA com uma quantidade ímpar de termos usando a fórmula:

\(TM = \frac{a_1+a_n}{2}\)

O primeiro termo da PA é 3 e o último termo da PA é 19, então:

\(TM = \frac{3+19}{2}\)

\(TM = \frac{22}{2}\)

\(TM = 11\)

Portanto, o termo médio dessa PA é 11.

TM em PA com número par de termos

O termo médio da PA com número par de termos é calculado por uma média aritmética entre os dois termos centrais da PA.

Exemplo:

Determine o termo médio da PA 2, 5, 8, 11, 14, 17.

Calcularemos o termo médio de uma PA com uma quantidade par de termos fazendo a média aritmética entre os valores dos dois termos centrais, que, nesse caso, serão o terceiro e quarto termos:

\(TM = \frac{a_3+a_4}{2}\)

O terceiro termo da PA é 8 e o quarto termo da PA é 11, então:

\(TM = \frac{8+11}{2}\)

\(TM = \frac{19}{2}\)

\(TM = 9,5\)

Portanto, o termo médio dessa PA é 9,5.

→ Videoaula sobre PA (progressão aritmética)

Como calcular PA (progressão aritmética)?

Na progressão aritmética, podemos calcular o primeiro termo, o enésimo termo, o número de termos, a soma dos termos, o termo médio ou a razão comum da PA dependendo do enunciado do exercício. Pensando nisso, selecionamos alguns exemplos abaixo:

Exemplo 1:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PA, sabendo que o primeiro termo é 4 e o décimo termo é 49.

Calcularemos a soma dos termos de uma PA usando a sua fórmula:

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\\ S_{10}=\dfrac{(4+49)\cdot 10}{2}\\ S_{10}=\dfrac{(53)\cdot 10}{2}\\ S_{10}=265\)

Exemplo 2:

Em uma PA com 11 termos, o primeiro termo é 5 e o último termo é 45. Calcule o termo médio.

Calcularemos o termo médio de uma PA usando a sua fórmula:

\(TM=\dfrac{a_1+a_n}{2}\\ TM=\dfrac{5+45}{2}\\ TM=\dfrac{50}{2}\\ TM=25 \)

Veja também: Qual a diferença entre média aritmética e média ponderada?

O que é PG (progressão geométrica)?

A progressão geométrica é uma sequência de termos cuja razão é constante e dada pelo quociente entre dois termos consecutivos. Para n termos, ela pode ser representada como:

PG = a₁, a₂, a₃, a₄, … ,a_n

De outra maneira:

\(PG=a_1,(a_1\cdot q^1),(a_1\cdot q^2),(a_1\cdot q^3),\ \ldots \ ,(a_1\cdot q^{n-1})\)

O termo seguinte de uma PG é formado a partir do primeiro termo (a₁), multiplicado pela razão comum ( q ) e elevado à posição do termo menos um (n - 1).

Exemplo:

Identifique os três primeiros termos da PG = 2, 4, 8, 16, ... e o oitavo termo, sabendo que a razão comum é 2.

O primeiro termo a₁ é o 2.

O segundo termo a₂ é o 4, resultado de \((a_1\cdot q^1)=2\cdot 2^1=4\).

O terceiro termo a₃ é o 8, resultado de \((a_1\cdot q^2)=2\cdot 2^2=8\).

O oitavo termo a₈ não está escrito, mas, como sabemos que é uma PG e que segue a representação mostrada anteriormente, faremos a multiplicação do primeiro termo com a razão comum elevada à posição do termo menos 1, como representado abaixo:

\(a_8=(a_1\cdot q^{n-1})=2\cdot 2^{8-1}=256 \)

Então, o oitavo termo a₈ é 256.

→ Tipos de PG

Quanto à razão, a PG pode ser classificada como crescente, decrescente, oscilante ou constante.

PG crescente: é aquela em que os valores numéricos vão crescendo e a razão é um número positivo maior que um. Por exemplo: 3, 6, 12, 24, …, cuja razão é igual a 2.
PG decrescente: é aquela em que os valores numéricos vão decrescendo e a razão é um número positivo menor que um. Por exemplo: 100, 50, 25, 12, 5, …, cuja razão é igual a 0,5.
PG oscilante: é aquela em que os valores numéricos se alteram em números positivos e negativos e a razão é um número menor que zero. Por exemplo: 2, -4, 8, -16, 32, …, cuja razão é igual a -2.
PG constante: é aquela em que os valores numéricos são iguais e a razão é igual a um. Por exemplo: 10, 10, 10, ..., cuja razão é igual a 1.

→ Soma dos termos da PG

A soma dos temos da PG é o valor resultante do somatório de todos os termos da progressão geométrica. Ela é calculada pela fórmula:

\(S_n = \frac{(q^n-1)\cdot a_1}{q-1}\)

S_n é a soma dos termos de uma PG.

a₁ é o primeiro termo da sequência.

q é a razão comum.

n é o número de termos da sequência.

Exemplo:

Qual é a soma dos seis primeiros termos da PG se o seu primeiro termo for 4 e a razão comum for 3?

Calcularemos a soma dos termos de uma PG usando a sua fórmula:

\(S_n = \frac{(q^n-1)\cdot a_1}{q-1}\)

\(S_6 = \frac{(3^6-1)\cdot 4}{3-1}\)

\(S_6 = \frac{(729-1)\cdot 4}{2}\)

\(S_6 = \frac{728 \cdot 4}{2}\)

\(S_6 = 1456\)

PG com razão menor que 1

Caso a razão da PG seja menor que 1, a soma dos termos de uma PG é dada pela fórmula:

\(S_n = \frac{(1-q^n)\cdot a_1}{1-q}\)

- S_n é a soma dos termos de uma PG.
- a₁ é o primeiro termo da sequência.
- q é a razão comum.
- n é o número de termos da sequência.

Exemplo:

Qual é a soma da PG abaixo, sabendo que a sua razão comum é 1/3.

\(81, 27, 9, 3, 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}\)

Calcularemos a soma dos termos de uma PG de razão menor que 1 usando a sua fórmula:

\(S_n = \dfrac{(1-q^n)\cdot a_1}{1-q}\\ S_7 = \dfrac{(1-\frac{1}{3}^7)\cdot 81}{1-\frac{1}{3}}\\ S_7 = \dfrac{(1-\frac{1}{2187})\cdot 81}{\frac{2}{3}}\\ S_7 = \dfrac{(\frac{2186}{2187})\cdot 81}{\frac{2}{3}}\\ S_7 = \dfrac{2186}{2187}\cdot 81 \cdot \dfrac{3}{2}\\ S_7 = \dfrac{531.198}{4374}\\ S_7 \cong 121,44 \)

Soma dos termos de uma PG infinita

Caso tenhamos uma PG infinita com a razão comum 0 < q < 1, a soma dos termos de uma PG será dada pela fórmula:

\(S_\infty = \dfrac{a_1}{1-q} \)

- S_∞ é a soma dos termos de uma PG infinita.
- a₁ é o primeiro termo da sequência.
- q é a razão comum.

Exemplo:

Qual é a soma dos termos da PG infinita abaixo, sabendo que a sua razão comum é 1/2?

\(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, … \)

Calcularemos a soma dos termos de uma PG infinita usando a sua fórmula:

\(S_∞=\frac{a_1}{1-q}\\ S_∞=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\\ S_∞=\frac{1}{\frac{1}{2}}\\ S_∞=1\cdot 2\\ S_∞=2\)

→ Termo médio da PG

O termo médio da PG é o termo central da progressão geométrica.

TM em PG com número ímpar de termos

O termo médio da PG com número ímpar de termos é calculado por uma média geométrica entre o primeiro termo e o último termo da PG, dada pela fórmula:

\(TM=\sqrt{a_1\cdot a_n}\)

- TM é o termo médio de uma PG.
- a₁ é o primeiro termo da sequência.
- a_n é o n-ésimo termo da sequência.

Exemplo:

Determine o termo médio da PG 2, 6, 18.

Calcularemos o termo médio de uma PA com uma quantidade ímpar de termos fazendo a média geométrica entre o primeiro termo e o último pela fórmula:

\(TM=\sqrt{a_1\cdot a_n}\)

O primeiro termo da PG é 2 e o último termo da PG é 18, então:

\(TM=\sqrt{2\cdot 18}\)

\(TM=\sqrt{36}\)

\(TM=6\)

Portanto, o termo médio dessa PG é 6.

TM em PG com número par de termos

Já o termo médio da PG com número par de termos é calculado por uma média geométrica entre os dois termos centrais da PG.

Exemplo:

Determine o termo médio da PG 3, 6, 12, 24.

Calcularemos o termo médio de uma PG com uma quantidade par de termos fazendo a média geométrica entre os valores dos dois termos centrais, que, neste caso, serão o segundo e terceiro termos:

\(TM=\sqrt{a_2\cdot a_3}\)

O segundo termo da PG é 6 e o terceiro termo da PG é 12, então:

\(TM=\sqrt{6\cdot 12}\)

\(TM=\sqrt{72}\)

\(TM\cong 8,49\)

Portanto, o termo médio dessa PG é aproximadamente 8,49.

→ Videoaula sobre PG (progressão geométrica)

Como calcular PG (progressão geométrica)?

Na progressão geométrica podemos calcular o primeiro termo, o enésimo termo, o número de termos, a soma dos termos, o termo médio, a razão comum da PG e a soma dos termos de uma PG infinita dependendo do enunciado do exercício. Pensando nisso, selecionamos alguns exemplos abaixo:

Exemplo 1:

Calcule a soma dos 5 primeiros termos da PG, sabendo que o primeiro termo é 3 e a razão comum é de 2.

Calcularemos a soma dos termos de uma PG usando a sua fórmula:

\(S_n = \frac{(q^n-1)\cdot a_1}{q-1}\)

\(S_5 = \frac{(2^5-1)\cdot 3}{2-1}\)

\(S_5 = \frac{(32-1)\cdot 3}{1}\)

\(S_5 = (31)\cdot 3\)

\(S_5 = 93\)

Exemplo 2:

Em uma PG com 9 termos, o primeiro termo é 2 e o último termo é 512, calcule o termo médio.

Calcularemos o termo médio de uma PG usando a sua fórmula:

\(TM=\sqrt{a_1\cdot a_n}\)

\(TM=\sqrt{2\cdot 512}\)

\(TM=\sqrt{1024}\)

\(TM=32\)

Fórmulas da PA e da PG

Razão da PA

\(r=a_n-a_{n-1}\)

r é a razão da PA.

a_n é o n-ésimo termo da PA.

a_{n - 1} é o termo anterior ao o n-ésimo termo da PA.

Razão da PG

\(q=\frac{a_n}{a_{n-1}}\)

q é a razão da PG.

a_n é o n-ésimo termo da PG.

a_n-1 é o termo anterior ao n-ésimo termo da PG.

Termo geral PA

\(a_n=a_1+(n-1)\cdot r\)

a_n é o n-ésimo termo da sequência.

a₁ é o primeiro termo da sequência.

n é o número de termos da sequência.

r é a razão da PA.

Termo geral PG

\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)

a_n é o n-ésimo termo da sequência.

a₁ é o primeiro termo da sequência.

n é o número de termos da sequência.

q é a razão da PG.

Saiba mais: O que é uma expressão algébrica?

Exercícios resolvidos sobre PA e PG

1. (Enem) As projeções para a produção de arroz no período de 2012 - 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

Tabela com valores de produção de arroz por ano, em exercícios sobre PA e PG.

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de

a) 497,25.
b) 500,85.
c) 502,87.
d) 558,75.
e) 563,25.

Resolução:

Alternativa D. Primeiramente calcularemos o décimo termo dessa PA, já que o período corresponde a 10 anos, usando a fórmula do termo geral de uma PA:

\(a_n=a_1+(n-1)\cdot r\)

\(a_{10}=50,25+(10-1)\cdot 1,25\)

\(a_{10}=50,25+11,25\)

\(a_{10}=61,50\)

Por fim, calcularemos a quantidade total de arroz usando a fórmula da soma dos termos de uma PA:

\(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\\ S_n=\frac{(50,25+61,50)\cdot 10}{2}\\ S_n=558,75\)

2. (PUC/RJ) Os termos da soma S = 4 + 8 + 16 + ... + 2048 estão em progressão geométrica. Assinale o valor de S.

a) 4092
b) 4100
c) 8192
d) 65.536
e) 196.883

Resolução:

Alternativa A. Primeiramente, calcularemos o número de termos da sequência usando a fórmula do termo geral de uma PG:

\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\ 2048=4\cdot 2^{n-1}\\ \frac{2048}{4}=2^{n-1}\\ 512=2^{n-1}\\ 512=\frac{2n}{2}\\ 2^n=512\cdot 2\\ 2^n=1024\\ 2^n=2^{10}\\ n=10\)

Por fim, calcularemos a soma dos termos dessa PG usando a sua fórmula:

\(S_n=\frac{(q^n-1)\cdot a_1}{q-1}\\ S_{10}=\frac{(2^{10}-1)\cdot 4}{2-1}\\ S_{10}=\frac{(1024-1)\cdot 4}{1}\\ S_{10}=(1023)\cdot 4\\ S_{10}=4092\)

Fontes

IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar – Volume 4: Sequências, Matrizes, Determinantes e Sistemas. 9ª edição. São Paulo: Atual Editora, 2019.

PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática Paiva (vol. 1). 2 ed. São Paulo: Editora Moderna Plus, 2010.

Conceito de PA e PG ou progressão aritmética e progressão geométrica. — PA e PG são sequências numéricas com uma razão constante. (Créditos: Gabriel Franco | Mundo Educação)

Escrito por: Pâmella Raphaella Melo Sou uma autora e professora que preza pela simplificação de conceitos físicos, transportando-os para o cotidiano dos estudantes e entusiastas. Sou formada em Licenciatura Plena em Física pela PUC- GO e atualmente curso Engenharia Ambiental e Sanitária pela UFG.