Progressão

A ideia de progressão está relacionada com avanço e sucessão. Na Matemática, caracterizamos a progressão como uma série numérica de quantidades, ou seja, que ocorre de forma sucessiva, uma após a outra. Ela sempre é estabelecida por uma lei de formação, que é uma fórmula matemática.

No Ensino Médio, estudamos dois tipos de progressão, a aritmética e a geométrica.

♦ Progressão Aritmética

Na progressão aritmética (PA), cada termo a partir do segundo é determinado pela soma do anterior por uma constante chamada de razão. Para determinar os termos da sequência, aplica-se a seguinte fórmula:

a_n = a₁ + (n – 1) . r

a_n = n-ésimo termo da sequência
a₁ = primeiro termo
n = posição do termo na sequência
r= razão

Ainda em relação a PA, temos a fórmula que fornece a soma dos n primeiro termos, que é a seguinte:

S_n= n . (a₁ + a_n)
          2

Sn = soma dos n primeiros termos de uma PA
n = posição do termo na sequência
a₁ = primeiro termo da sequência
a_n = n-ésimo termo da sequência

Exemplo: Encontre o vigésimo termo da sequência (1, 3, 5, 7 . . .) e calcule a soma dos 20 primeiros termos.

Dados:

a₁ = 1

r = 2 → Para descobrir r, observe a progressão. O próximo número é sempre o anterior mais 2: 1 + 2 = 3; 3 + 2 = 5 …

n = 20

a₂₀ = ?

Resolução:

a_n = a₁ + (n – 1) . r

a₂₀ = 1 + (20 – 1) . 2

a₂₀ = 1 + (19) . 2

a₂₀ = 1 + 38

a₂₀ = 39

O vigésimo termo da sequência é o número 39.

S_n= n . ( a₁ + a_n )
                 2

S₂₀ = 20 . ( 1 + 39 )
                     2

S₂₀ = 20 . ( 40)
                  2

S₂₀ = 20 . 20

S₂₀ = 400

A soma dos vinte primeiros termos da sequência é 400.

♦ Progressão Geométrica

Já a progressão geométrica (PG) pode ser entendida como qualquer sequência de números em que, a partir do segundo termo, a sequência é dada por meio da multiplicação do termo anterior pela razão. Veja a fórmula:

a_n = a₁ . q^{n – 1}

a_n = n-ésimo termo da sequência
a₁ = primeiro termo da sequência
q = razão
n = posição do termo da sequência

Nessa progressão, também temos a fórmula da soma dos n primeiros termos, que é dada por:

S_n = a₁ . (qⁿ – 1)
         q - 1

S_n = soma dos n primeiros termos de um PG
a₁ = primeiro termo da sequência
q = razão
n = posição do termo na sequência

Exemplo: Determine o sexto termo da progressão geométrica (2, 6, 18, 54...) e, em seguida, calcule a soma dos seis primeiros termos.

Para resolver esse exercício, devemos calcular a razão (q). Para isso, efetue as divisões:
6 = 3
2

18 = 3
 6

54 = 3
18

Com isso, verificamos que a razão da PG é 3. Sabendo que a₁ = 2 e n = 6, substitua os valores na fórmula:

a₆ = a₁ . q^{n – 1}

a₆ = 2 . ( 3)^{6 -1}

a₆ = 2 . (3)⁵

a₆ = 2 . 243

a₆ = 486

O sexto termo da PG é o número 486. Vamos agora calcular a soma dos seis primeiros termos da sequência.

S_n = a₁ . (qⁿ - 1)
              q – 1

S_n = 2 . (3⁶ - 1)
           3 – 1

S_n = 2 . (729 - 1)
            3 – 1

S_n = 2 . (728)
             2

S_n = 1456
          2

S_n = 728

A soma dos seis primeiros termos da progressão geométrica é igual a 728.