Soma dos termos de uma P.G finita

Progressão geométrica finita é uma PG que tem um número determinado de elementos. Por exemplo, a seqüência (3,6,12,24,48) é uma PG de razão igual a q = 2.

A soma dos temos dessa PG será 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93. Fazer essa soma é fácil, pois ela possui apenas cinco elementos, caso seja necessário somar os termos de uma PG com mais de dez elementos, o que é mais complicado, é preciso utilizar uma fórmula. Veja a sua demonstração:

Dada uma PG finita qualquer com n elemento, ou seja, com a quantidade de elementos indefinida. PG finita (a1, a2, a3, ... , an). A soma desses n elementos será feita da seguinte forma:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

Sabendo que a2 = a1 . q; a3 = a1 . q²; an = a1 . q^{n – 1}

Podemos dizer que a soma dessa PG será:

Sn = a1 + a1 . q + a1 . q² + a1 . q³ + ... + a1 . q^{n – 2} + a1 . q^{n – 1}.

Como se trata de uma equação, se multiplicar um membro é preciso multiplicar o outro, por isso é necessário multiplicar os dois termos da última equação por q:

q . Sn = (a1 + a1 . q + a1 . q² + a1 . q³ + ... + a1 . q^{n – 1})

q . Sn = a1 . q + a1 . q² + a1 . q³ + a1 . q⁴ + ... + a1 . q^{n – 1} + a1 . qⁿ

Fazendo a subtração:



Colocando em evidência os termos semelhantes, temos:
q . Sn – q . Sn = a1 . qⁿ – a1
Sn (q - 1) = a1 (qⁿ – 1)

Isolando o termo Sn (soma dos elementos), iremos obter a seguinte fórmula:

Sn = a1 (qⁿ – 1)
               q - 1

Portanto, a fórmula para obter a soma dos n elementos de uma PG finita é:

Sn = a1 (qⁿ   1) 
           q   1

Exemplo: Dê a soma dos termos da seguinte PG (7,14,28, ... , 3584).

Para utilizarmos a fórmula da soma é preciso saber quem é o 1º termo, a razão e a quantidade de elementos que essa PG possui.

a1 = 7
q = 2
n = ?
Sn = ?

Portanto, é preciso que encontremos a quantidade de elementos que possui essa PG, utilizando a fórmula do termo geral.

an = a1 . q^{n – 1}
3584 = 7 . 2^{n – 1}
3584 : 7 = 2^{n – 1}
512 = 2^{n – 1}
2⁹ = 2^{n – 1}
n – 1 = 9
n = 10

Sn = a1 (qⁿ – 1) 
                q - 1

S10 = 7 (2¹⁰ – 1)
                   2 – 1

S10 = 7 (1024 – 1)
                     2 – 1

S10 = 7 . 1023

S10 = 7161