Equação modular

Equação é uma expressão algébrica com uma ou mais incógnitas que possui uma igualdade, então, podemos dizer que uma equação modular possui essas mesmas características, sendo que a incógnita dessa equação terá que estar dentro de um módulo.

Veja alguns exemplos de equações que são modulares:

|x + 2| = 5

|x| - 5 = 8

- |2x| = 9

3 . |x|² – 8 . |x| + 5 = 0

|x² – 6x + 16| = 32

Para resolver uma equação modular deve-se seguir a definição de módulo de um número real:

|x| = x, se x ≥ 0
-x, se x < 0

Para compreender como aplicar essa definição em uma equação modular acompanhe o raciocínio dos exemplos abaixo:

• |x| = 7
Para descobrir o valor de x devemos pensar da seguinte forma: um número real terá sempre um valor positivo como resultado do seu módulo, e 7 é positivo, mas o valor de x poderá ser +7 ou -7, pois |+7| = 7 e |-7| = 7, portanto, x = 7 ou x = -7

• |x| = 0
Como zero tem valor nulo (não possui sinal) dizemos que o único valor que x poderá assumir será 0, portanto, x = 0.

• |x| = -8
Como um número real terá sempre um valor positivo ou nulo e -8 é negativo não irá existir valor real para x, portanto, a solução dessa equação será vazia.

Quando dentro do módulo estiver uma operação com a incógnita, devemos calcular o módulo invertendo o sinal do 1º ou do 2º membro da igualdade.

• |x + 2| = 4
x + 2 = 4                ou     x + 2 = - 4
x = 4 – 2                          x = - 4 - 2
x = 2                                 x = - 6

• |x + 6| = x + 6
x + 6 = x + 6              ou         x + 6 = - (x + 6)
x – x = 6 – 6                           x + 6 = - x – 6
0 = 0                                       x + x = - 6 – 6
                                                2x = - 12 
                                                x = -6
S = {x R | x ≥ -6}

• |x – 3| + 4x = 7
|x – 3| = 7 – 4x

x – 3 = 7 – 4x                   ou                  x – 3 = - (7 – 4x)
x + 4x = 7 + 3                                         x – 3 = -7 + 4x
5x = 10                                                   x – 4x = -7 + 3
x = 2                                                       -3x = -4
x = 4 / 3

• |2x - 2| = |5 - x|
2x -2 = 5 - x                              ou           2x – 2 = - (5 – x)
2x + x = 5 + 2                                          2x – 2 = -5 + x
3x = 7                                                       2x – x = - 5 + 2
x = 7 / 3                                                     x = - 3