Função par e função ímpar

Função é a relação do conjunto de chegada com o conjunto de partida, a forma que assumir essa relação poderá definir uma função como sendo par ou ímpar.

Função par

Será uma função par a relação onde o elemento simétrico do conjunto do domínio tiver a mesma imagem no conjunto de chegada. Ou seja, uma função será par se f(x) = f(-x).

Por exemplo: a função A→B, com A = {-2,-1,0,1,2} e B = {1,2,5} definida pela fórmula f(x) = x² + 1, obedece o seguinte diagrama:



Veja nesse diagrama que os elementos simétricos do domínio, como o 2 e -2, possuem a mesma imagem. Por isso, essa função é uma função par.

Outra forma de verificar se uma função é par é a seguinte: para que uma função seja par é preciso que f(x) = f(-x), então, se for dada a seguinte função f(x) = x² + 1, basta substituir.
Como f(x) = f(-x), então f(-x) = (-x)² – 1 → f (-x) = x² – 1. A função continuou a mesma depois da substituição, portanto, ela é uma função par.


Função ímpar

Será uma função ímpar a relação onde os elementos simétricos do conjunto do domínio terão imagens simétricas no conjunto de chegada. Ou seja, uma função será ímpar se
f(-x) = -f(x).

Por exemplo: a função A→B, com A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-10,-5,0,5,10} definida pela fórmula f(x) = 5x, obedece o seguinte diagrama:

Veja que os elementos simétricos do conjunto A como -2 e 2 possuem imagens simétricas. Por isso, essa função é uma função ímpar.

Outra forma de verificar se uma função é ímpar é a seguinte: para que uma função seja ímpar é preciso que f(-x) = -f(x), então se for dada a seguinte função f(x) = 5x, basta testar se ela seria par.

Como f(x) = f(-x), então f(-x) = 5 . (-x) → f (-x) = -5x. Como a função f(x) ≠ f(-x) e
f(-x) = -f(x), dizemos que essa função é uma função ímpar.