Função afim (função do 1º grau)

A função afim, ou função do 1º grau, é uma relação matemática com domínio e imagem no conjunto dos números reais cuja expressão tem a forma \(f(x) = ax + b \). Também é conhecida como função polinomial de grau 1. Seu gráfico é representado por uma reta, que pode ser crescente ou decrescente. Os valores a e b são chamados de coeficientes da função afim: a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Se a for positivo, a reta será crescente; se a for negativo, a reta será decrescente. O coeficiente linear b indica o ponto onde a reta corta o eixo y.

Leia também: Domínio, contradomínio e imagem de uma função

Resumo em tópicos sobre função afim (função do 1º grau)

• A função afim é definida com domínio e imagem nos números reais, e sua expressão geral é \(f(x) = ax + b \).
• Na fórmula, o número a representa o coeficiente angular, e b, o coeficiente linear.
• Essa função também é chamada de função polinomial de primeiro grau.
• O gráfico que representa a função afim é sempre uma linha reta.
• Essa reta pode apresentar crescimento ou decrescimento.
  • Quando o valor de a é positivo, o gráfico da função é uma reta crescente.
  • Quando o valor de a é zero, o gráfico da função é uma reta constante.
  • Quando o valor de a é negativo, o gráfico da função é uma reta decrescente.

O que é uma função afim?

A função afim é a função que possui domínio e contra domínio no conjunto dos números reais e cuja lei de formação é uma equação polinomial do 1º grau, por isso a função afim é conhecida também como função polinomial do primeiro grau.

Sua lei de formação é \(f(x) = ax + b \).  

Fórmula da função afim

A fórmula da função afim é:

• a é o coeficiente angular, que determina a inclinação da reta;
• b é o coeficiente linear, que indica o ponto onde a reta intercepta o eixo y;
• x é a variável independente;
• f(x) é o valor da função para cada valor de x.

Como resolver a função afim?

Em uma função atribuímos valores para o termo independente, no caso representado pela variável x e encontramos seu correspondente f(x).

Exemplo:

Dada a lei de formação f(x) = 2x + 3, para encontrar o valor numérico da função, substituiremos o valor de x na função e calculares o valor de f(x).

a) x = 0

f(0) = 2 ⋅ 0 + 3

f(0) = 0 + 3

f(0) = 3

Significa que, quando x = 0, f(0) =3.

b) x = 5

f(5) = 2 ⋅ 5 + 3

f(5) = 10 + 3

f(5) = 13

Logo, quando x = 5, f(5) = 13.

c) x = - 3

f(-3) = 2 ⋅ (-3) + 3

f(-3) = -6 +3

f(-3) = -3

Gráfico da função afim ou função do primeiro grau

O gráfico de uma função afim é sempre uma reta. Para representar o gráfico de uma função afim no plano cartesiano, basta calcular o valor numérico da função para dois pontos diferentes e traçar a reta que liga esses dois pontos. Para fazer de forma mais detalhada, faremos a representação gráfica com três pontos.

Exemplo:

Representaremos graficamente a função f(x) = x + 2.

Para realizar essa representação, calcularemos x = - 1, x = 0 e x = 1 na função:

Se x = -1

f(-1) = -1 + 2

f(-1) = 1

Se x = 0

f(0) = 0 + 2

f(0) = 2

Se x = 1

f(1) = 1 + 2

f(1) = 3

Então marcaremos no plano cartesiano os pontos A(-1,1), B(0,2) e C(1,3)  e traçaremos a reta que passa por esses pontos:

Função afim e o coeficiente linear e angular

Na lei de formação da função, temos dois coeficientes, representados de forma genérica pelas letras a e b. Esses coeficientes recebem nomes específicos. No caso a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Os coeficientes nos dão informações importantes sobre o gráfico da função.

• Coeficiente angular: informa se a função é crescente, decrescente ou constante.
  • Se a > 0, então a função é crescente.
  • Se a = 0, então a função é constante.
  • Se a < 0, então a função é decrescente.

Além disso, quando a função é crescente, quanto maior for o valor de a, maior será a inclinação dessa função, ou sejam ela terá um crescimento mais rápido quanto maior for a valor de seu coeficiente angular. Quando a função for decrescente, quanto menor for o valor de 𝑎 (ou seja, quanto mais negativo ele for), maior será a inclinação no sentido da queda, o que indica que a função decresce mais rapidamente. Portanto, o valor de 𝑎, positivo ou negativo, influencia diretamente a intensidade da variação da função afim.

• Coeficiente linear: informa o ponto (0,b) em que a reta corta o eixo y.

Por exemplo na função que expressamos anteriormente f(x) = x + 2, podemos observar que b = 2, então a reta corta o eixo y no ponto (0, 2).

Função crescente e decrescente

Como vimos, a função afim pode ser crescente decrescente ou constante. Tudo depende do valor do coeficiente angular a.

Exercícios sobre função afim

1. Heitor utiliza um serviço de transporte por aplicativo que cobra uma tarifa fixa de R$ 6,00 mais R$ 2,50 por quilômetro rodado. A função que expressa o valor da corrida em função da distância percorrida (x) é f(x) = 2,5x + 6. 

Se Heitor fez uma corrida de 12 km, qual foi o valor pago?

a) R$ 30,00

b) R$ 33,00

c) R$ 35,00

d) R$ 36,00

e) R$ 38,00

Resolução:

Alternativa D.

Calculando f(12), temos que:

f(12) = 2,5 ⋅ 12 + 6

f(12) = 30 + 6

f(12) = 36

Questão 2

Uma academia cobra uma taxa de matrícula no valor de R$ 40,00 e uma mensalidade fixa de R$ 70,00. A função que representa o valor total pago (f(x)) em reais após x meses de uso é dada por f(x) = 70x + 40.
Qual será o valor total pago por uma pessoa após 5 meses de academia?

A) R$ 350,00
B) R$ 390,00
C) R$ 400,00
D) R$ 410,00
E) R$ 450,00

Resolução:

Alternativa B.

Calculando o valor pago por 5 meses, temos que:

f(5) = 70 ⋅ 5 + 40

f(5) = 350 + 40

f(5) = 390

Fontes

IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar – Vol. 1: Conjuntos e funções. 9. ed. São Paulo: Atual Didáticos, 2013.

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. 7. ed. São Paulo: Moderna, 2011. (9º ano)