Lógica matemática
A lógica matemática é a área da Matemática que estuda e analisa a construção de argumentos por meio do raciocínio lógico construído com base em proposições e conectivos lógicos. Podemos ver diversas aplicações da lógica para além da Matemática. Ela está presente na computação, na Filosofia e auxilia no desenvolvimento do pensamento crítico.
Para facilitar o entendimento da lógica matemática, existe uma ferramenta importante que é a tabela-verdade, utilizada em operações lógicas e que permite verificar a validade e a veracidade de proposições e suas combinações.
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Resumo sobre lógica matemática
- A lógica matemática é a área da Matemática que estuda a construção de argumentos por meio do raciocínio lógico e com base em proposições e seus conectivos.
- Proposições são frases que têm um único valor lógico.
- As proposições podem ser verdadeiras ou falsas.
- Os conectivos podem ser a negação, a conjunção, a disjunção e a bicondicional.
- A tabela-verdade mostra todas as combinações possíveis de valores lógicos entre as proposições e seus conectivos.
- A lógica matemática é utilizada em áreas como informática, Matemática e Filosofia.
O que é lógica matemática
A lógica matemática é uma área da Matemática que estuda a organização do raciocínio lógico formal, com proposições e conectivos, criando linhas de pensamentos mais estruturadas, oferecendo ferramentas que permitem verificar a validade dessas proposições e realizar conexões entre as proposições.
A lógica matemática oferece ferramentas para verificar se um raciocínio é válido e permite estabelecer relações entre diferentes proposições, formando relações lógicas bem estruturadas. Essa área tem diferentes aplicações, podendo ser utilizada na programação, na Filosofia e na própria Matemática.
Lógica matemática e as proposições
Na lógica matemática, as proposições são elementos fundamentais para a construção do raciocínio formal. As proposições são frases com um único valor lógico, podendo ser verdadeiras ou falsas.
Exemplo de proposição:
- P: o número 2 é par. – Verdadeira.
- Q: o número 4 é ímpar. – Falsa.
Note que todas essas frases podem ser consideradas proposições e podem ter valor lógico verdadeiro ou falso. Com as proposições é possível realizar operações lógicas que são organizadas por meio dos conectivos.
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Lógica matemática e os conectivos
Os conectivos lógicos são operadores lógicos usados para unir ou alterar proposições, permitindo a criação de sentenças mais elaboradas dentro da lógica matemática. Os conectivos tornam possível a construção de argumentos mais complexos, os principais conectivos são a negação, a conjunção a disjunção e a bicondicional. Cada conectivo tem um símbolo específico, vejamos cada um deles a seguir:
- Negação (~) : esse conectivo altera o valor lógico de uma proposição, transformando o que é verdadeiro em falso e vice-versa.
- Conjunção (∧): corresponde ao operador "e".
- Disjunção (∨): esse operador representa o "ou".
- Condicional (→): esse operador representa o “se”, trazendo uma relação de dependência entre as sentenças.
- Bicondicional (↔): representa a equivalência lógica, “se somente se”.
Operações lógicas
Como sabemos, os conectivos são operações lógicas entre as premissas. Vejamos exemplos de cada uma dessas operações a seguir:
-
Negação (~)
Exemplo 1:
Dada a proposição P:
P: Essa semana tenho prova.
A negação dessa posição será:
~P: Essa semana não tenho prova.
Exemplo 2:
P: Vou sair com meus amigos nesse final de semana.
~P: Não vou sair com meus amigos nesse final de semana.
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Se a proposição é verdadeira, então a negação dessa proposição será falsa; e, se a proposição é falsa, então a negação dessa proposição será verdadeira. |
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Conjunção (∧)
Exemplo:
P∧Q: Esse final de semana será ensolarado e viajaremos para a praia.
P: Esse final de semana será ensolarado.
Q: Viajaremos para a praia.
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Uma conjunção só é verdadeira quando ambas as proposições são verdadeiras. |
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Disjunção (∨)
Exemplo:
P∨Q: Vou acordar mais cedo amanhã ou eu chegarei atrasado ao trabalho.
P: Vou acordar mais cedo amanhã.
Q: Eu chegarei atrasado ao trabalho.
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Na conjunção a sentença será verdadeira se, pelo menos, uma das proposições for verdadeira. |
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Condicional (→)
Exemplo:
P→Q: Chego a Goiânia às 10 horas, se eu sair de Uberlândia às 5 horas e 30 minutos.
P: Chego a Goiânia às 10 horas
Q: Sair de Uberlândia às 5 horas e 30 minutos.
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A sentença só será falsa se a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa. |
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Bicondicional (↔)
Exemplo:
P↔Q: Você entrará na conta da rede social, se, somente se, digitar a senha corretamente.
P: Você entrará na conta da rede social.
Q: Digitar a senha corretamente.
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A sentença será verdadeira quando ambas as proposições têm o mesmo valor lógico, ou seja, as duas verdadeiras ou as duas falsas. |
Lógica matemática e a tabela-verdade
A tabela-verdade traz de forma visual o valor lógico da proposição de acordo com os conectivos. Vejamos, a seguir, a tabela-verdade para cada um dos casos:
Negação
|
P |
~P |
|
V |
F |
|
F |
V |
Conjunção
|
P |
Q |
P ∧ Q |
|
V |
V |
V |
|
V |
F |
F |
|
F |
V |
F |
|
F |
F |
F |
Disjunção
|
P |
Q |
P ∨ Q |
|
V |
V |
V |
|
V |
F |
V |
|
F |
V |
V |
|
F |
F |
F |
Bicondicional
|
P |
Q |
P ↔ Q |
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V |
V |
V |
|
V |
F |
F |
|
F |
V |
F |
|
F |
F |
V |
Raciocínio indutivo e dedutivo
Na lógica matemática, o raciocínio é a base para a construção e a análise de argumentos. Temos dois tipos de raciocínio: o dedutivo e o indutivo. O raciocínio dedutivo começa com ideias mais gerais e depois chega a uma conclusão mais específica. Quando partimos de ideias corretas e seguimos uma linha de pensamento lógica, chegamos a uma conclusão que faz sentido.
Exemplo:
Todos os seres humanos são mamíferos.
Raul é um ser humano.
Logo, Raul é um mamífero.
O raciocínio indutivo funciona de forma oposta ao dedutivo. Em vez de começar com uma regra geral, ele parte de casos específicos, de situações observadas na prática, e tenta chegar a uma conclusão. É como quando a gente percebe um padrão em algo que se repete e começa a pensar que aquilo pode ser uma regra. Esse tipo de raciocínio não oferece uma certeza, mas mostra uma possibilidade, algo que pode ser verdade com base no que foi observado.
Exemplo:
O Sol nasceu hoje, ontem e nos dias anteriores.
Portanto, o Sol nascerá amanhã.
Saiba mais: Como se calcula a probabilidade
Exercícios resolvidos sobre lógica matemática
Questão 1
Considere a proposição P: O número 7 é par.
Qual é o valor lógico da negação de P?
A) Verdadeiro, pois 7 é um número par.
B) Falso, pois a negação inverte o valor lógico.
C) Verdadeiro, pois a negação de uma proposição falsa é verdadeira.
D) Falso, pois 7 é um número ímpar.
E) Nenhuma das alternativas está correta.
Resolução: Alternativa C
P é falsa, pois sabemos que 7 é ímpar. A negação de 7 ser par é a proposição ~P: 7 não é um número par, que tem valor lógico verdadeiro, pois a negação de uma proposição é verdadeira.
Questão 2
Qual proposição composta representa uma bicondicional?
A) P ∨ Q
B) P ∧ Q
C) P → Q
D) P ↔ Q
E) P ∨ Q
Resolução: Alternativa D
A alternativa que corresponde à bicondicional é: P ↔ Q
Fontes
ALENCAR FILHO, E. de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2002.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos et al. Matemática – volume único. 6. ed. São Paulo: Atual Didáticos, 2019
