Quantificadores

Na Matemática, utilizamos símbolos que são capazes de quantificar elementos. Esses símbolos, chamados de quantificadores, são empregados tanto no estudo da álgebra quanto no estudo da lógica matemática.

Os quantificadores possuem a função de nos informar a respeito de determinada quantidade de elementos em uma situação. Esses quantificadores podem ser classificados em dois tipos “Quantificador Universal” ou “Quantificador Existencial”.

• O quantificador universal é utilizado quando queremos nos referir a todos os elementos de um conjunto. Por exemplo, se afirmamos que “todo número natural par é múltiplo de 2”, podemos reescrever essa afirmação de outra forma, veja: seja a um número natural par, esse número natural pode ser escrito na forma 2n, sendo que n é natural, isto é, para todo a pertencente aos naturais, a = 2n. Para simplificar a notação, podemos substituir o termo para todo por ?, o qual possui o mesmo significado, podendo ainda ser lido como “qualquer que seja” ou “para cada”. Vejamos outro exemplo: seja n um número natural qualquer, podemos afirmar que:

Portanto, independentemente do número natural que escolhermos, o seu produto com zero resultará em zero.

• O quantificador existencial diferencia-se do universal porque não se refere a todos os elementos de um conjunto. Ele faz referência a pelo menos um elemento pertencente ao conjunto. Por exemplo, posso afirmar que um ônibus escolar só faz determinado trajeto se houver pelo menos um aluno que se dirigirá à escola “Educar o Educando”. Não importa se há mais alunos que irão para essa escola ou mesmo se todos os alunos estudam nessa escola. O fato de haver pelo menos um aluno da escola “Educar o Educando” já é razão suficiente para o motorista fazer o trajeto que o leva à escola. Para expressarmos o quantificador existencial, utilizamos o símbolo ?, que pode ser lido como “existe um”, “existe pelo menos um”, “algum” ou “existe”.

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Vejamos um novo exemplo: existe pelo menos um número natural n que, subtraído de seu quadrado, resulta em 0, isto é:

Essa afirmação é válida para qualquer valor de n? Se escolhermos o valor de 2 para n, teremos 2² – 2 = 4 – 2 = 2. A igualdade não resultará em zero. Os únicos valores básicos para que a igualdade seja verdadeira são n = 1 e n = 0.

• Há ainda um quantificador de existência e unicidade. Esse quantificador refere-se à existência de um único elemento. Para representar o quantificador de existência, utilizamos o símbolo ?! e lemos “existe um e um só” ou “existe um único”. Por exemplo, podemos afirmar que existe um único número natural n que, somado com 5, resulte em 6. Podemos escrever:

Existe um único valor para n que possibilita que essa igualdade seja verdadeira. Esse valor é n = 1 e não há qualquer outro número natural que valide essa equação.