Whatsapp icon Whatsapp

Método de completar quadrados

O método de completar quadrados é utilizado para resolver equações do segundo grau, transformando-as em um produto notável.
Resolver uma equação envolve boas ideias e atitude. Esse é o caso do método de completar quadrados
Resolver uma equação envolve boas ideias e atitude. Esse é o caso do método de completar quadrados

Para encontrar os resultados de uma equação do segundo grau, pode-se utilizar um método conhecido como completar quadrados. Para tanto, lembre-se do conceito de produtos notáveis.

Ao escrever uma equação do segundo grau na forma de produto notável, é possível simplificar todos os cálculos para encontrar suas raízes. Muitas vezes, as raízes já são dadas simplesmente ao reescrever a equação.

Para essas resoluções, dividiremos as equações em três casos, que, juntos, formam o método de completar quadrados utilizado para resolver equações do segundo grau.

1 – A equação do segundo grau é um trinômio quadrado perfeito

Toda equação do segundo grau que for um trinômio quadrado perfeito será também resultado de um dos produtos notáveis abaixo. O lado direito desses produtos, em vermelho, é chamado justamente de trinômio quadrado perfeito.

(x + k)2 = x2 + 2kx + k2

(x – k)2 = x2 – 2kx + k2

Para encontrar os resultados desse tipo de equação, basta reescrevê-la como produto notável. Nas expressões dadas acima, produto notável é o lado esquerdo da igualdade, em azul.

Observe o exemplo abaixo, em que comparamos os coeficientes “a”, “b” e “c” de uma equação do segundo grau com os valores de 2k e k2 nos produtos notáveis anteriores.

Exemplo: Calcule as raízes da equação do segundo grau x2 + 18x + 81 = 0.

Para ter certeza de que uma equação é trinômio quadrado perfeito, observe se b = 2k e c = k2(não se esqueça de que “a”, “b” e “c” são coeficientes da equação do segundo grau e 2k e k2 são coeficientes do produto notável).

A equação desse exemplo possui a = 1, b = 2·9 e c = 92. Logo, pode ser reescrita da seguinte maneira:

x2 + 2·9·x + 92 = (x + 9)2 = 0.

Assim sendo, encontrar as raízes da equação do exemplo acima se torna tarefa fácil. Basta pensar em quais são os valores que x pode assumir para que x + 9 = 0.

x + 9 = 0

x = 0 – 9

x = – 9

Portanto, as duas raízes dessa equação são iguais, e o resultado é – 9. Para ter certeza dessa afirmação, lembre-se de que um produto entre dois termos só é igual a zero se um dos termos for igual a zero. Portanto, na multiplicação resultante de (x + 9)2 = 0, teremos:

(x + 9)2 = 0

(x + 9)(x + 9) = 0

O primeiro termo, em azul, é igual a zero, ou o segundo, em vermelho, é igual a zero. Como ambos são x + 9, então, para ambos, o resultado é x = – 9.

2 – A equação do segundo grau NÃO é um trinômio quadrado perfeito

Existem casos em que a equação do segundo grau não é um trinômio quadrado perfeito. Ainda assim é possível resolver essas equações seguindo esse método. Para tanto, considere, por exemplo, a equação abaixo, em que x é incógnita, k e r são números reais, com r diferente de k2.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

x2 + 2k·x + r = 0

A equação acima só é trinômio quadrado perfeito se r = k2. Porém, o exemplo diz em seu texto que essa informação não é verdadeira.

Uma vez que falta apenas o termo k2 no primeiro membro da equação para que exista a possibilidade de escrevê-la como produto notável, vamos somá-lo nos dois membros dessa equação e “passar” o termo “r” para o segundo membro. Como estamos somando um número elevado ao quadrado que falta na equação original, esse procedimento recebe o nome de completar quadrados. Observe:

x2 + 2k·x + r + k2 = 0 + k2

x2 + 2k·x + k2 = 0 + k2 – r

x2 + 2k·x + k2 = k2 – r

No primeiro membro da equação, o que restou foi apenas um trinômio quadrado perfeito. Escreva-o na forma de produto notável para obter:

(x + k)2 = k2 – r

Por fim, para encontrar os valores de x, basta extrair a raiz quadrada em ambos os membros da equação:

√(x + k)2 = √(k2 – r)

x + k = ± √(k2 – r)

x = k ± √(k2 – r)

Observe que foi introduzido o símbolo ±. Esse símbolo indica que é necessário realizar os cálculos do valor de x utilizando um valor positivo de √(k2 + r) e um valor negativo de √(k2 – r). Dessa forma:

x = k + √(k2 – r) ou x = k – √(k2 – r)

Exemplo: Quais são as raízes da equação x2 + 18x – 19 = 0?

Solução: utilizando o método de completar quadrados, teremos:

x2 + 18x – 19 = 0

x2 + 18x – 19 + 81 = 0 + 81

x2 + 18x + 81 = 81 + 19

x2 + 18x + 81 = 100

(x + 9)2 = 100

√(x + 9)2 = ± √100

x + 9 = ± 10

x = ± 10 – 9

x = 10 – 9 = 1 ou

x = – 10 – 9 = – 19

3 – O caso em que o coeficiente “a” é diferente de 1

Repare que, nos exemplos e casos anteriores, os cálculos foram feitos considerando-se o coeficiente “a” da equação do segundo grau igual a 1. Nos casos em que “a” é diferente de 1, basta dividir toda a equação pelo valor de a. Observe:

2x2 + 36x – 18 = 0

Como a = 2, dividiremos toda a equação por 2.

2x2 + 36x18 = 0
 2        2       2    2 

x2 + 18x – 9 = 0

Isso fará com que a equação resultante tenha a = 1 e possibilitará o uso do método de completar quadrados.

Publicado por Luiz Paulo Moreira Silva

Artigos Relacionados

Equação biquadrada
Equação, equação do segundo grau, Equação biquadrada, Forma geral da equação biquadrada, Raízes da equação biquadrada, Incógnita, Substituição de incógnitas.
Equação do 2º grau
Aprenda a resolver uma equação do 2º grau e a diferenciar uma equação do 2º grau completa de uma incompleta. Confira ainda exercícios sobre o tema.
Equações incompletas do segundo grau
Clique para aprender o que são equações incompletas do segundo grau e conheça maneiras alternativas de resolvê-las.
video icon
Escrito"Pólis" sobre imagem de Partenon, uma das principais construções da Grécia Antiga.
História
Grécia Antiga: Pólis
Assista à nossa videoaula para conhecer as principais características de uma pólis grega. Confira também, no nosso canal, outras informações sobre a Grécia Antiga.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.