Produtos notáveis

Os produtos notáveis, como o próprio nome sugere, são multiplicações que possuem certo destaque. Eles aparecem com frequência no desenvolvimento de expressões algébricas. Além disso, algumas expressões algébricas necessitam do conhecimento sobre produtos notáveis para facilitar sua fatoração.

Leia também: Propriedades da multiplicação e da adição para o cálculo mental

Propriedades dos produtos notáveis

• Diferença entre dois quadrados

Considere a seguinte figura:

A área pintada é determinada da seguinte maneira:

A_ABCD – A_FECG = a² – b²

Ao deslocar o retângulo BEFH conforme a figura a seguir, vamos ter a mesma área pintada, entretanto, encontrada de maneira diferente.

A área da figura acima é dada por (a + b) . (a - b). Logo,

Exemplos

c) (200² - 100²) = (200 +100) · (200 - 100) = 300 · 100 = 30000

b) x² – 3² = (x + 3) · (x - 3) = x - 3
      x + 3             x + 3

• Trinômio quadrado perfeito

• Quadrado da subtração de dois termos

Considere um quadrado de lado medindo (a - b).

Perceba a seguinte relação entre as áreas dos quadrados:

A_MBNR = A_ABCD – A_AMPD – A_QNCD + A_QRPD

(a - b)² = a² – ab – ab + b²

• Quadrado da soma de dois termos

De maneira análoga, considere o quadrado a seguir:

Calculando a área do quadrado, temos:

(a + b)²

Observando os quadrados e retângulos dentro do quadrado maior, veja que é possível calcular suas respectivas áreas.

A_verde = a²

A_azul = b²

A_marrom = ab + ab = 2ab

Podemos ver agora que a área do quadrado maior é a somatória das áreas menores, assim, temos que:

Exemplos

a) (x - 1)² = x² -2x +1

b)  t² + 4t +4 = (t + 2)² = (t + 2) · (t + 2) = t + 2
        t + 2        t + 2               t + 2

Veja também: Multiplicação com polinômios: como calcular?

• Soma ou diferença de dois cubos

Como o próprio nome sugere, temos dois números elevados ao cubo e esses números estão sendo somados ou subtraídos.

Exemplo:

y³ – 27 = y³ – 3³ = (y - 3) · (y² + 3y + 9)

• Trinômio do segundo grau

Do estudo de equações do segundo grau, sabemos que, dada uma equação da forma ax² + bx +c = 0 e conhecendo suas raízes (x₁ e x₂), podemos escrever esse trinômio da seguinte maneira:

ax² + bx +c = a(x – x₁) · (x – x₂)

Lembre-se de que as possíveis raízes da equação do segundo grau podem ser encontradas pela relação seguinte:

• Cubo da soma de dois números

O cubo da soma de dois números é dado por:

(a + b)³ = (a + b)² · (a + b)

(a + b)³ = (a² + 2ab + b²) ·(a + b)

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

• Cubo da diferença de dois números

De maneira análoga, temos:

(a - b)³ = (a - b)² · (a - b)

(a - b)³ = (a² - 2ab + b²) ·(a - b)

(a - b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² - b³

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (UFC) O valor exato da expressão abaixo é:

a) 12

b) 11

c) 10

d) 9

e) 8

Solução:

Vamos chamar de x a expressão dada e elevar ao quadrado os dois lados da igualdade. Assim:

Como a expressão é positiva, então x = 10.

Gabarito: alternativa c.

Questão 2 – Qual é o resultado da expressão (7 777)² – (2 223)² ?

Observe que realizar essa conta sem nenhum tipo de auxílio é bem complicado. Então, vamos utilizar a diferença de dois quadrados:

(7 777)² – (2 223)² = (7 777 + 2 223) · (7 777 – 2 223)

(7 777)² – (2 223)² = 10 000 · 5 554

(7 777)² – (2 223)² = 55 540 000

(7 777)² – (2 223)² = 5,554 · 10 ⁷