Notação especial da progressão aritmética

Quando uma progressão aritmética possui apenas três ou quatro elementos é possível fazer uma relação com seus elementos e tornar o cálculo dos seus termos e da razão mais simplificados.

• P.A de três termos

Uma P.A com três elementos será escrita da seguinte forma:
(x – r , x , x + r)

Exemplo: a soma dos três termos de uma P.A é 72 e o produto dos termos extremos é 560. Qual é essa P.A?

Sabemos que qualquer P.A de três elementos é escrita da seguinte forma: (x – r , x , x + r), comparando-a com as informações do enunciado teremos:

x – r + x + x + r = 72
3x = 72
x = 72 : 3
x = 24.
Como o elemento do meio da P.A de três elementos é o x, podemos dizer que será igual a 24.

Levando em consideração a segunda informação, teremos:

(x – r) . (x + r) = 560
x² – r² = 560
242 - r² = 560 (-1)
-576 + r² = -560
r² = - 560 + 576
r² = 16
r = 4

Portanto, a P.A será formada pelos seguintes elementos: (20, 24, 28).

• P.A de quatro elementos será escrita da seguinte forma:
(x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y

Exemplo: Em uma P.A de quatro termos, a soma dos dois primeiros é zero e a soma dos dois últimos é 80. Qual é a razão da P.A?

Sabemos que qualquer P.A de quatro elementos é escrita da seguinte forma: (x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y, comparando-a com as informações do enunciado teremos:

(x – 3y) + (x – y) = 0
x + x – 3y – y = 0
2x – 4y = 0

(x + y) + (x + 3y) = 80
2x + 4y = 80

Montamos um sistema com as duas equações encontradas.
2x – 4y = 0
2x + 4y = 80
4x = 80
x = 20

2x - 4y = 0
2 . 20 - 4y = 0
4y = 40
y = 10

Como a razão é o dobro do valor de y: r = 20.