Potência i

Os números considerados complexos são escritos acompanhados de uma parte imaginária. No complexo z = a + bi, temos que a parte imaginária é representada por bi. Considerando i a unidade imaginária, vamos determinar alguns valores de in. Veja:

Qualquer número elevado a zero será sempre 1, então:
i 0 = 1

Qualquer número elevado a 1 será ele mesmo, então:
i 1 = i

Conforme a regra dos números complexos:
i 2 = – 1
i 3 = i2 * i = (–1) * i = –i
i 4 = i2 * i2 = (–1) * (– 1) = 1
i 5 = i4 * i = 1 * i = i
i 6 = i5 * i = i * i = i2 = –1
i 7 = i6 * i = (–1) * i = – i
i 8 = i4 * i4 = 1 * 1 = 1
i9 = i8 * i = 1 * i = i
i10 =(i2)5 = (–1)5 = –1

A partir da potência i4 as outras vão se repetindo de 4 em 4, para calcularmos in (n um número inteiro qualquer), para calcularmos por exemplo a potência i343, iremos dividir o expoente n por 4. No caso do exemplo, iremos dividir 343 por 4, irá sobrar um resto r igual a 3, assim, podemos concluir que:

i n = i r
i 343 = i3, portanto i343 = – i

Exemplo 1

Aplicando as propriedades da potência, calcule (2 – 2i)6.
Podemos fatorar o expoente da seguinte forma:

[(2 – 2i)2]3 =
[22 – 2 * 2 * (2i) + (2i)2]3
[4 – 8i + 4i2]3 =
[4 – 8i + 4 * (–1)]3 =
[4 – 8i – 4]3 =
[– 8i]3 =
– 512 * i3 =
– 512 * (– i) =
+ 512i

Exemplo 2

Para calcularmos a seguinte soma: i1993 + i1994 + i1995, devemos dividir cada expoente por 4 utilizando da seguinte propriedade i n = i r.
Dividindo 1993 por 4, termos como resto 1; dividindo 1994 por 4, teremos resto 2; dividindo 1995 por 4, teremos resto 3, substituindo os expoentes 1993, 1994 e 1995 (aplicando a propriedade in = ir) pelos seus respectivos restos, teremos:

i1 + i2 + i3 =
i + (–1) + (–i) =
i – 1 – i =
– 1 + i – i =
– 1

Portanto, i1993 + i1994 + i1995 = –1.

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Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva
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Lista de Exercícios

Questão 1

Calcule o valor da expressão i125 – i126 + i127 – i128 , sabendo que a unidade imaginária i vale √-1.

Questão 2

Determine o valor dos números complexos a seguir:

a) z = (1 + i)20

b) z = (1 – 2i)8

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