Classificação da Progressão Aritmética
O que é sequência Numérica?
Sequência numérica é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais não nulos. Seus elementos são indicados por:
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a1 é o primeiro termo da sequência;
-
a2 é o segundo termo da sequência;
-
an é o enésimo termo, ou termo geral, da sequência;
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an-1 é o termo antecessor de an;
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an+1 é o termo sucessor de an ;
Vamos deduzir a lei de formação dessa sequência: (0, 5, 10, 15...).
Observe que cada termo é múltiplo de 5, então:
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1º termo |
2° termo |
3° termo |
4 ° termo |
... |
Termo an |
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0 |
5 |
10 |
15 |
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5 . n |
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5*0 |
5*1 |
5*2 |
5*3 |
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5n- 5 |
Portanto, a lei de formação dessa sequência é 5n -5.
Pense sobre as sequências a seguir:
1) 3, 5, 7, 9…
2) 50, 45, 40, 35...
3) 6, 6, 6, 6...
Veja que a primeira sequência é uma soma de dois em dois, descobrimos isso fazendo a subtração do segundo termo pelo primeiro: 5 - 3= 2. Como essa sequência está aumentando, podemos chamá-la de crescente.
A segunda sequência tem a diferença de -5 entre os termos, 45- 50= -5. Como está diminuindo é uma sequência decrescente.
E a terceira tem todos os termos iguais, a diferença entre eles será sempre 0, portanto é uma sequência constante.
Assim, podemos definir Progressão Aritmética como: Toda sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante - chamada de razão (r) da progressão Aritmética.
Exemplo 1: Calcule a razão da P. A. cujo termo geral é definido por an = 2n -1, n
Para encontrar r são necessários dois termos consecutivos, como vimos nas sequências acima.
a1 = 2.1-1= 1 a2= 2. 2- 1= 3, então r = a2 – a1= 3 - 1 = 2.
A partir disso definimos a Fórmula do termo geral de uma P.A.
an = a1 + (n - 1) r, n > 2
Exemplo 2: Calcule a quantidade de múltiplos de 4 existentes entre 100 e 1000.
an= 1000; a1= 100; r= 4;
Utilizando a fórmula: 1000= 100+ (n - 1)4
1000-100= (n - 1)4
900/4 = (n-1)
225 + 1 = n
Logo, existem 226 múltiplos de 4 entre os números 100 e 1000.
Uma importante definição dentro de Progressão Aritmética é sobre a soma de seus termos, que determina que em toda P.A finita a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Soma dos termos de uma P.A